Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
-Р
Рис. 1.41
' является четным целым числом, со-77 ответствующие участки функции sin
tot являются антисимметричными соответственно относительно точек t = я/2ш
и / = Зя/2ш. Таким образом, получаем, что при i - 2, 4, 6, ...
коэффициенты bi = 0.
90
Когда i - нечетное целое число, обе функции F (t) и sin iwt являются
антисимметричными относительно ординаты t= я/й). Тогда из выражения
(i.596) получаем
2л/ш л/2со
bi=~^~ j F (t) sin at dt = j F (i) sin ia>( dt. (з)
о о
Вновь обращаясь к рис. 1.41, видим, что на интервале от I = 0 до t =
я/2й) имеем F (t) = 2Pu>tln. Подставим это выражение в интеграл (з),
получим
я,/2(о 1'л/'2
Г , ¦ • , j, 8Р г
о; =----------5- t sin tear dt = ."-т- iismu
лг J г2л2 J
du.
Проинтегрировав и подставив пределы интегрирования, найдем
8 Р . in 8Р
где i = 1, 3, 5, 7, ...
Учитывая, что а0 = 0, а, = 0, и используя выражение (и) для
тригонометрического ряда (1.58), получим
F (/) = ^sin оit sin 3otf + sin 5o^ - . . . (к)
Далее, для того чтобы представить пилообразную диаграмму, приведенную на
рис. 1.41, в виде тригонометрического ряда, необходимо только
просуммировать синусоиды с нечетными числами волн на интервале от t = 0
до t = 2л/(0. Более того, здесь можно видеть, что ряды (к) быстро
сходятся, поэтому для практики важным является только первый член ряда.
Таким образом, возмущающая сила, изменяющаяся по пилообразному закону,
оказывает на систему примерно такое же влияние, как и возмущающая сила,
изменяющаяся по синусоидальному закону с несколько меньшей амплитудой
вида
F (t) = sin о)П (л)
Для того чтобы указать на незначительное влияние второго члена ряда,
отметим, что при со/р = 0,9 коэффициент усиления
^3= 1 - (Зсо/р)2 = -°'159-
Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний, обусловленная вторым
членом ряда, составляет только 0,159/32 = 0,0177 от прогиба при
статическом приложении силы 8Р/л2, тогда как коэффициент усиления для
первого члена ряда
Pi = -5 1-ТГг = 5,26.
r 1 - (О2//?2
Следовательно, можно сделать вывод, что приближенное выражение (л) дает
ошибку, меньшую 0,4 %, а приближенное решение, описывающее перемещение в
исходной задаче, при этом имеет вид
8PPi
n2k
- sin шС (м)
ЗАДАЧИ
1.11.1. Используя данные примера 1, приведенного выше, построить
кривую зависимости перемещения от времени х = f (t) для установившихся
вынужденных колебаний системы, показанной на рис. 1.40.
91
1.11.2. Разложить возмущающую силу t (t), на рис. А. 1.11.2, в
тригонометрический ряд
4 Р / 1 \
Ответ: F (/) = (sin at + - sin 3at + ... J .
график которой представлен
fit)
Р
-Р
х/ш
2Х/Ш
j'Л/0)
4JT/W t
Рис. А.1.11.2
1.11.3. Разложить возмущающую силу F (/), график которой представлен
на рис. 1.11.3, в тригонометрический ряд.
4Р / 1 \
Ответ: F (t) = -----( cos at j- cos 3<ot -)- ...).
1.11.4. Разложить возмущающую силу F (t), график которой представлен
на рис. А.1.11.4, в тригонометрический ряд.
2 Р / 1 1 \
Ответ: F (t) = (sin со? гг5*11 "1Г S'n '
92
Рис. А. 1.11.4
1.11.5. Разложить возмущающую силу F (/), график которой представлен
на рис. А. 1.11.5, в тригонометрическрй ряд.
Р Р / I 1 \
Ответ: F (t) = ---------(sin at -|-sin 2сot -|- - sin 3at -|- • •• ) ¦
1.11.6. Получить общее решение для задачи об установившихся вынужденных
колебаниях с демпфированием системы с одной степенью свободы, если
возмущающая сила описывается функцией вида (1.58).
Ответ: х ¦
ав
i=i
| щ cos (iat - 0;) bi sin (iat - 0j) 4)^(1 - i2co2/P2)2 + (2y<'<o/p)2
1.12. ВОЗМУЩАЮЩАЯ СИЛА ПРОИЗВОЛЬНОГО ВИДА
В предыдущем параграфе был рассмотрен общий случай периодической
возмущающей силы, которая может быть представлена в виде ряда Фурье.
Однако для случая возмущающей силы произвольного вида сила меняется во
времени не по периодическому закону, поэтому здесь следует использовать
несколько иной подход к решению задачи.
Рассмотрим дифференциальное уравнение движения демпфированной системы с
одной степенью свободы (рис. 1.42, а) при действии возмущающей силы Q = F
((') произвольного вида
тх = -сх - kx + Q. (а)
Рис. 1.42
93
Разделив уравнение (а) на т и сделав соответствующие преобразования,
получим
х + 2пх -}- р2х = q, (1-61)
где
q = JL=JLyi = f(t') (б)
п т т 1 v ' 4 '
является возмущающей силой, отнесенной к единице массы. При выводе
уравнения (1.61) предполагалось, что сила q является функцией фиктивного
времени f, как показано на рис. 1.42, б. Тогда в произвольный момент
времени ? можно подсчитать приращение импульса q dt', показанное на
рисунке заштрихованным прямоугольником. Этот импульс сообщает единице
массы мгновенное увеличение скорости (или приращение скорости)
dx = q dt' (в)
независимо от того, что на эту массу могут действовать и другие силы
(например, сила упругости) и независимо от величины перемещения и
скорости этой массы в момент t'. Рассматривая это приращение скорости как
начальную скорость в момент t' и используя выражение (1.35) из п. 1.8,
получим, что приращение перемещения системы в любой момент времени t
