Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
И, наконец, умножив представление (1.58) на dt и проинтегрировав от t = 0
до t = Ту найдем
т
*o=4-JF{t)dL (1-59в)
п
Видно, что если известно аналитическое выражение функции F (/), с помощью
формул (1.59) можно определить коэффициенты представления (1.58). Если
функция F (/) задается графически и не представляется возможным выразить
ее в аналитической форме, следует для вычисления интегралов (1.59)
использовать приближенный численный метод.
Предполагая, что возмущающая сила представлена в виде тригонометрического
ряда, запишем уравнение для вынужденных колебаний с демпфированием в
следующем виде:
тх -ф сх -ф kx = "0 + 0! cos со/ -ф а2 cos 2со/ -ф ... -ф
-ф Ьг sin со/ -ф b2 sin 2со/ -ф ... (1.60)
Общее решение этого уравнения состоит из двух частей: одна из них
описывает свободные колебания, другая - вынужденные. Свободные колебания
будут постепенно затухать вследствие влияния демпфирования. Вынужденные
колебания для случая линейного уравнения будут представлять собой
наложение установившихся вынужденных колебаний, обусловленных каждым
членом ряда (1.58). В свою очередь, эти последние колебания можно
исследовать точно так же, как в п. 1.9. Отсюда можно сделать вывод, что
большие вынужденные колебания могут возникнуть, когда период одного из
членов ряда (1.58) совпадет с периодом собственных колебаний системы, т.
е. если период Т возмущающей силы будет либо равен точно, либо кратен
периоду тд.
Пример 1. Для решения системы, показанной на рис. 1.40, имеются следующие
исходные данные: вес поршня Wa= 2,72-10 Н; вес шатуна Wm = 1,36-10 Н;
Мгц= 2Wm/3= 0,91-10 Н; M%g = Wn + Wml3= 3,18-10 Н; полный вес двигателя W
= 2,27-103 Н; частота вращения двигателя 600 мин-1; радиус кривошипа г =
0,203 м; длина шатуна /= 0,609 м; жесткость пружины k = 2,06-106 Н/м.
Пренебрегая влиянием деформирования, найти максимальное перемещение
двигателя от положения равновесия при установившихся вынужденных
колебаниях системы. Предполагается, что кривошип полностью
отбалансирован.
Решение. Начнем с определения собственной круговой частоты колебания
системы
/Ж, = к55в_94,3 =-¦.
Кроме того, имеем
откуда находим
'5* Из найденного отношения частот видно, что частота возмущающей силы,
пропорциональной cos со/, расположена ниже резонансной частоты, тогда как
частота силы, пропорциональной cos 2 со/, лежит выше резонансной частоты.
Пренебрегая компонентами возмущающей силы с более высокими частотами,
получаем наложение влияний только сил инерции, представляемых выражениями
(а) и (д), или, что то же самое, их суммой (е). Записывая эти слагаемые в
виде
Рх cos со/ = - (Mi + М-2) со2/- cos со/;
Рг cos со/ = j- Лфсо2/- cos 2со/, (ж)
со
Р
600-2я
60
62,83
94,3
: 20я = 62,83 с'
2со
Р
89
ИоЛуЧиМ
р i = - (Mi + М2) (oV = -
(6,91 + 3,18) 10-400я2-0,203 9,81
== 3,341 • 10й Н;
Р'--Т м" - (w) (-ТЖ2-) (400"'> •ж-"*'"-
Вновь воспользовавшись выражением (1.24) из п. 1.6, найдем, что для
вынужденных колебаний без демпфирования, обусловленных действием двух
возмущающих сил [см. выражения (ж)], перемещения
Пример 2. На систему с одной степенью свободы действует возмущающая сила
F(t), которая изменяется в зависимости от времени в соответствии с
диаграммой, приведенной на рис. 1.41. Пренебрегая влиянием демпфирования,
рассмотреть установившиеся вынужденные колебания, которые при этом
возникают, если масса m пружины и ее жесткость k таковы, что отношение
частот (о/р = 0,9.
Решение. Начнем с того, что проведем гармонический анализ заданной силы,
предположив, что функция, описывающая эту силу, может быть представлена в
виде тригонометрического ряда (1.58). Для этого воспользуемся выражениями
(1.59), с помощью которых найдем коэффициенты а0, ai и 6; ряда.
ляет собой площадь области, заключенной между заданной пилообразной
диаграммой (см. рис. 1.41) и осью абсцисс на интервале с координатами 1=
0 и / = 7'= 2я/ш. Очевидно, что эта площадь равна нулю, откуда следует,
что а0 = 0.
Обратившись далее к выражению (1.59а), видим, что каждая ордината
диаграммы (см. рис. 1.41) должна быть умножена на cos tot и затем
проинтегрирована от t = 0 до / = 2я/ш. Поскольку функция F (t) нечетная,
а функция cos tot четная, их произведение будет также нечетной функцией,
откуда следует, что интеграл в выражении (1.59а) также будет равен нулю,
т. е. а; = 0.
И наконец, взяв выражение (1.596), видим, что каждая ордината функции F
(/) на рис. 1.41 должна быть умножена на sin tot и проинтегрирована от t
= 0 до
= - 2,92-10 3 cos о)/;
= 0,54-10-3 cos (о/.
Максимальное перемещение имеет место при Ш = л, что дает (*1 + *2)тах=
(2,92 + 0,54) 10~3 = 3,46- Ю"3 м.
2я/со
Взяв сначала выражение (1.59в), видим, что интеграл
F (t) dt представ-
о
F(t)
Р
0
t = 2я/(о. В этом случае функция F (t) на отрезке от t = 0 до t = я/ш
является симметричной относительно t = я/2ш, а на интервале от / = я/ш до
/ = 2я/со она симметрична относительно t - Зя/2ш. Однако, когда i
