Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
случай, в котором демпфирующая сила пропорциональна скорости (так
называемое вязкое демпфирование), является простейшим с точки зрения
математического исследования. Поэтому силы сопротивления, имеющие более
сложную природу, обычно заменяют при исследованиях эквива-
3 Тимошенко С. П. и др.
65
лентным вязким демпфированием.^Эквивалентное демпфирование определяют из
условия, чтобы за один цикл при нем рассеивалось столько же энергии,
сколько и при действии реальных сил сопротивления. Например, с помощью
такого подхода можно рассматривать демпфирование, обусловленное
внутренним трением.
Рассмотрим теперь случай, состоящий из пружины и сосредоточенной массы
системы, в которой имеется вязкое демпфирование благодаря наличию
демпфера (рис. 1.28). Предполагается, что вязкая жидкость в демпфере
оказывает пропорциональное скорости сопротивление движению. В этом случае
дифференциальное уравнение движения имеет вид
I-x = W -(W-\-kx)-cx. (а)
Коэффициент с представляет собой коэффициент вязкого демпфирования или
постоянную демпфирования и имеет размерность силы, отнесенной к единице
скорости. Знак минус перед демпфирующей силой означает, что эта сила
всегда имеет направление, противоположное направлению скорости. Разделив
левую и правую части уравнения (а) на Wig и введя обозначения
р2=^; 2п-~~, (б)
получим уравнение свободных колебаний с вязким демпфированием
х -f 2пх -f- р2х = 0. (1.33)
При исследовании этого уравнения воспользуемся обычным методом решения
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и
выберем следующее представление для искомого решения:
х - Сеп, (в)
где е - основание натурального логарифма; t - время; г - постоянная,
определяемая из условия того, что представление (в) должно удовлетворять
уравнению (1.33). Подставляя представление (в) в уравнение (1.33),
получим г2 + 2пг + р2 = 0, откуда находим
г = - п ±V п2 - р2. (г)
Рассмотрим сначала случай, когда величина л2, зависящая от демпфирования,
меньше р2. Тогда величина р\ = р2 - л2 положительна и решениями
квадратного уравнения являются два комплексных корня:
/'1 == - л-г /рд; г2 = - п - ?рд.
Подставляя эти значения постоянных в выражение (в), получим два решения
уравнения (1.33). Сумма или разность этих двух реше-
W ч
X
Рис. 1.28
66
ний, умноженных на произвольную постоянную, также будет решением. В таком
случае имеем
*i = -у- (er,t + erJ) = Cre -nt cos pRt\
х2 = -§- (<%* - е'"*) = Сге~п( sin /у.
Суммируя эти решения, получим общее решение Уравнения (1.33): х = е~п'
(С1 cos pRt + C3sin pRt), (1-34)
где Cx и C2 - постоянные, которые должны определяться из начальных
условий. Множитель e~nt в решении (1.34) уменьшается с течением времени,
поэтому возникшие вначале колебания будут постепенно затухать.
Выражение в круглых скобках из решения (1.34) совпадает по форме с
полученным ранее решением для задачи о колебаниях без демпфирования [см.
решение (1.2)1. Оно представляет собой периодическую функцию с круговой
частотой
Рд= У/"(r)
п2,
(Д)
называемую круговой частотой затухающих колебаний при демпфировании.
Соответствующий ей период
2я 2я 1
я~ Рл ~ Р V1 - (пУр2) '
(е)
Сравнивая эту величину с величиной т = 2л/р периода, полученной ранее для
колебаний без демпфирования, видим, что период колебаний с демпфированием
тд является большей величиной. Однако, если п меньше р, то это увеличение
является настолько незначительным, что им можно пренебречь. Даже если
коэффициент демпфирования п/р достигает такой большой величины, как 0,2,
отношение частот pAip близко к единице, что видно из рис. 1.29, где
показан график Ра
функции =
1 г , представляющий собой уравнение ок-
ружности в первом квадранте.
Для определения постоянных Ci и С2, входящих в решение (1-34),
предположим, что в начальный момент при t = 0 в процессе колебания тело
смещается от положения равновесия на величину х0 и имеет начальную
скорость х0. Подставляя эти данные в решение (1.34) и в его производную
по времени, найдем
Ci - х0; С2
¦ ПХ0
Ра
(ж)
Рис. 1.29
67
Подставляя найденные значения (ж) постоянных в решение (1.34), получим
х - e~nt (х0 cospRt + > + sin'ppt^ . (1.35)
В этом выражении первое слагаемое, пропорциональное cos pRt, зависит от
начального перемещения х0, тогда как второе слагаемое, пропорциональное
sin pnt, зависит как от начального перемещения х0, так и от начальной
скорости х0.
Выражение (1.35) может быть записано в эквивалентной форме
х = Ае~п/ cos (рп( - "д), (1.36)
где _______
А = j/~С] -f- С\ - |/"хо -f- (х0 -f- пхо) / Рд (з)
есть максимальное значение амплитуды;
ад = arctg -g- = arctg • (и)
Можно считать, что выражение (1.36) описывает псевдогармониче-ское
движение с уменьшающейся по экспотенциальному закону амплитудой Ae~ni, с
фазовым углом ад и периодом тд = 2п/ря. На рис. 1.30 показан график этого
движения. Огибающая, уравнение которой имеет вид ±Ae~nt, касается этого
графика в точках ти m[, m2, т'2, ..., ординаты которых отстоят друг от
