Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
параграфе будет обсуждаться поведение системы с одной степенью свободы
при действии таких возмущающих сил.
Рассмотрим, например, одноцилиндровый двигатель (рис. 1.40). Когда такой
двигатель имеет неотбалансированные детали, совершающие возвратно-
поступательное движение внутри картера 4, последние порождают
периодическую возмущающую силу, которая вызовет
которое можно решить по известной формуле.
1.11. ОБОБЩЕННАЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ВОЗМУЩАЮЩАЯ СИЛА
колебание всей системы. При изучении указанных вынужденных колебаний
потребуется знание точного характера возмущающей силы, а особую важность
имеет отношение ее периода к периоду собственных колебаний системы.
При исследовании возмущающей силы массу шатуна 2 можно представить с
достаточной точностью в виде двух сосредоточенных масс, одна из которых
относится к пальцу кривошипа 3, другая - к поршню 1. Все остальные
неуравновешенные движущиеся массы могут быть также отнесены к указанным
двум точкам. В результате потребуется рассмотреть только две
сосредоточенные массы A4X и М2 (см. рис. 1.40). Если за положительное
выбрать направление сил вниз, вертикальная составляющая силы инерции
массы Мг:
Рис. 1.40
= -AfjCoV cos o)t, (a)
86
где со - угловая скорость вращения коленчатого вала вокруг оси 5; г -
радиус кривошипа; со/ - угол, составляемый кривошипом с вертикальной
осью.
Возвратно-поступательное движение массы М2 является более сложным.
Обозначим через х перемещение массы Л4а от верхней мертвой точки поршня,
а через а - угол между шатуном и вертикальной осью. Из приведенного
чертежа (см. рис. 1.40) имеем
х = I (1 - cos а) + г (1 - cos со/); (б)
г sin со/ = I sin а. (в)
Из соотношения (в) следует sin а = (r/l) sin со/. Длина I
шатуна
обычно в несколько раз превышает длину радиуса г кривошипа,
поэтому с достаточной точностью можно положить
-| Г f'2
cos а = у 1--р- sin2 со/ ж 1 -2/2" sin2
удержав только первые два слагаемых в разложении функции в ряд
Тейлора. Подставляя последнее выражение в соотношение (б),
найдем
x = r(\ - cos со/) -f -gf sin2 со/. (г)
Дифференцируя полученное выражение по времени, определим скорость
возвратно-поступательного движения массы М2.
х = т sin соt + sin 2wt,
а продифференцировав дважды, получим ускорение. Тогда сила инерции,
действующая на массу Мг\
F2 = -Л42о>2/- ^cosсо/ -f -j-cos 2(оt^j. (д)
Суммируя эту силу с силой (а), получим окончательное выражение для
возмущающей силы
F (t) = - (М1 }- М2) со2/-cos wt -^-M2(o2rcos2(o/. (е)
Следует отметить, что полученное выражение содержит два
слагаемых, одно из которых имеет круговую частоту, равную частоте
вращения вала двигателя, другое - имеет круговую частоту, равную
удвоенной частоте вращения. Отсюда можно сделать вывод, что в
рассматриваемом случае имеется две критические частоты вращения вала,
двигателя: первая, когда частота вращения вала двигателя в одну секунду
совпадает с частотой собственных колебаний системы / = 1/т, и вторая,
когда частота вращения двигателя равна половине частоты собственных
колебаний. Соответствующим выбором жесткости k пружины можно всегда
сделать так, чтобы частота собственных колебаний была достаточно удалена
от указанных критических частот вращения и тем самым устранить
возможность возникновения больших колебаний.
87
Следует помнить, что выражение (д) для силы инерции массы, совершающей
возвратно-поступательное движение, было получено путем удержания только
первых двух членов ряда Тейлора для функции cos а. Более точное выражение
будет содержать, кроме того, еще и гармоники более высокого порядка. А
это приведет к тому, что появятся критические частоты вращения более
низкие, чем рассматривались выше. Однако они практического значения не
имеют, так как соответствующие им силы будут слишком малы, чтобы вызывать
существенные колебания системы.
В общем случае периодическую возмущающую силу произвольного вида можно
представить в виде тригонометрического ряда (ряда Фурье)'. :}
F (t) = я" 4- ах cos со/ + я2 cos 2со/ -)- . .. + sin со/ -j- b.2 sin
2cut
П
= ao + (aicos + bt s in/co/). (1.58)
i=l
Период возмущающей силы T = 2л/со, коэффициенты а0, аг и bj являются
постоянными, которые требуется определить.
Для того чтобы определить любой из коэффициентов ряда (1.58), если
известен вид функции F (/), необходимо воспользоваться следующей
процедурой. Предположим, требуется определить коэффициент я,-. Тогда обе
части представления (1.58) можно умножить на cos /со/ и проинтегрировать
от / = 0 до t = Т. Можно показать, что имеют место следующие соотношения:
т т
j а0 cos ко/ dt =0; j о,- cos jad cos mt dt = 0; о о
т т
j bj sin /со/ cos mt dt = 0; j at cos2 Ш dt = ~ T = a~, о о
где i и j - целые числа 1, 2, 3, ... Используя эти соотношения из
представления (1.58), находим
т
я; = -|г| F (t) cos /со/ dt. (1.59а)
о
Поступая аналогичным образом и умножая представление (1.58) на sin id)t и
интегрируя, получим
т
bi = -^r\ F(t) sin mtdt. (1.596)
0
