Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
связи в задачах для систем, в которых имеется только несколько
собственных форм колебаний, остро встает проблема больших чисел.
Здесь не было рассмотрено применение итерационного метода к задачам на
собственные значения, представленным в виде уравнений движения в усилиях
[см. уравнение (4.17)1, поскольку главным при этом были бы наибольшие
собственные значения р\. В задаче, в которой проще определяются
коэффициенты жесткости, а не податливости, можно всегда обратить
неособенную матрицу жесткостей S и тем самым получить матрицу
податливостей F, которая имеется в уравнении (4.103). С другой стороны,
для полу определенной системы, матрица жесткостей которой является
особенной, требуется проводить специальное исследование. В этом случае
матрицы жесткостей и податливостей следует редуцировать путем перехода к
новой системе координат, чтобы исключить формы движения как абсолютно
жесткого тела, которые можно определить с помощью простого рассмотрения и
составить процедуру для исключения этих форм.
Допустим известно, что колеблющаяся система имеет только одну форму
движения как абсолютно жесткого тела, которая обозначена как первый
собственный вектор ХМ1. Эту форму исключаем из системы уравнений движения
в усилиях, задав специальное условие дополнительного закрепления в виде
хГ1 = 0. Затем строим усеченную матрицу преобразования Топ1, состоящую из
подматрицы пх(п ¦- 1) матрицы ТВ1 справа от разделяющей линии в выражении
(х). В данном случае воспользуемся соотношением
X = ToniXODl, (4.110)
выражающим зависимость вектора X = \х1у х2, х3, ..., хп\ от вектора Хоп1
= \х2, х3, ..., хп\. Последний вектор не содержит фиктивного перемещения
х\, которое использовалось в матрице ТВ1. Поскольку компоненты матрицы
Топ1 не зависят от времени, можно также записать
Х=Топ1Хоп1, (з')
где Хоп1 = \х2, х3, ..., хп\. Подставляя выражения (4.110) и (з') в
уравнения движения в усилиях, записанные для случая свободных колебаний
[см. уравнение (4.30)], и умножая результат слева на матрицу Toni,
получим
TonlMTonlXonl -)- TonlSTonlXonl = 0
или
MouiX0ni Д- SoniXonl = 0, (4.111)
где
Monl - TonlMTonb Sonl = TjnlSTonl- (4.112)
Здесь Моп1 и S0ni - квадратные симметричные матрицы порядка
п - 1, а уравнения (4.111) представляют собой уравнения движения,
преобразованные к редуцированной системе координат, в кото-
299
рых исключены перемещения как абсолютно жесткого тела. В этой системе
координат матрицу жесткостей Sonl можно обратить, в результате получим
матрицу податливостей
F0ni = Soi,. (4.113)
Для подготовки применения ее в дальнейшем к решению задачи на собственные
значения, соответствующей уравнениям (4.111), методом последовательных
приближений запишем произведение
Aoni = FoniMom- (4.114)
Собственные векторы, определяемые с помощью подобной процедуры,
преобразуются к исходным координатам согласно выражению (4.110).
Если в системе имеет место вторая форма движения как жесткого тела,
определяемая собственным вектором ХМ2, требуется ввести второе условие,
ограничивающее перемещения, в виде хГ2 = 0. Усеченная матрица
преобразования Топ2, соответствующая этому условию, представляет
подматрицу порядка (п - 1) х (п - 2) матрицы ТВ2, расположенную ниже и
правее разделительных штриховых линий в выражении (б'). В этом случае
имеем соотношение
Хоп2 = Т0п2Х01з2! (4.115)
выражающее связь между векторами Хоп1 = {х2, х3, ..., хп\ и Х0П2 = {х3,
хп\. Повторяя приведенные выше рассуждения, можем свести матрицы Моп1 и
Soni к матрицам Моп2 и Son2 с помощью следующих преобразований:
М0П2 = ТопгМопДопг, Son2 = Ton2S0nlT0n2. (4.116)
С другой стороны, подставив выражение (4.115) в соотношение (4.110),
получим
Х=То*п2Хоп2, (4.117)
где
Т*П2 = T0niT0n2. (4.118)
Комбинированная матрица Т*п2 порядка п х (п - 2) выражает зависимость
вектора X от вектора Хоп2 и равна произведению мат-триц Топ1 и Т0П2
порядков соответственно п х (п - 1) и (я - 1) х X (л - 2). С помощью этой
комбинированной матрицы можно преобразовать матрицы М и S непосредственно
в матрицы Моп2 и Son2 с помощью следующих преобразований:
М0П2 = (Т^Г мт;п2, Son2 = (т:п2)т ST^. (4.119)
Подобный прием можно распространить на случай произвольного числа форм
движений как абсолютно жесткого тела, существующих в данной системе.
Для иллюстрации этого метода предположим, что первая пружина в системе,
изображенной на рис. 4.1, а, имеет жесткость кх- 0. Если k2 = ks = k и т1
= = т2- т3 = т, то матрицы жесткостей и масс имеют вид
"1-1 от "1 0 0"
S = k -1 2 -1 ; М = т 0 1 0
о - 1 и _0 0 1.
300
Проверкой убеждаемся, что система является полуопределенной и что форма,
соответствующая движению как абсолютно жесткого тела, определяется
следующим вектором:
ХМ1 = {1; 1; 1}.
С учетом сказанного редуцированная матрица преобразования Toni порядка
3X2 имеет вид
(и')
Используя эту матрицу, преобразуем матрицы масс и жесткостей с помощью
выражения (4.112) к виду
Мп
- 1 1 O' о О 1 _j- 2 Г
