Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
где матрица ТВ1 характеризует зависимость хъ х2, х3, ..., хп от х2, х3,
..., хп. Подставляя в соответствии с выражением (ч) представление для XMi
в правую часть уравнения (4.99), получаем
ATbiXmi = ^;Xmi- (ш)
Присутствие в этом соотношении матрицы ТВ1 обеспечивает наличие линейной
зависимости, что необходимо для проведения итераций при нахождении второй
формы колебаний. На каждом шаге итерации эта матрица умножается слева на
выбранное представление для вектора перемещений и предполагается их
ортогональность с первой формой колебаний. Однако для удобства эта
матрица используется только один раз - на эту матрицу справа умножается
матрица А. Матрица ТВ1 называется вычищающей, поскольку ее влияние
сказывается в том, что она "вычищает" все относящееся
294
к первой форме колебаний и тем самым позволяет второй форме стать главной
формой колебаний. Таким образом, можно записать
AiXmi = ?чХм;, (4.106)
где
Ai=ATBi, (4.107)
а матрица ТВ1 имеет вид (х).
Для того чтобы показать, как применяется этот способ, определим
собственное значение и собственный вектор, соответствующие второй форме
колебаний системы, показанной на рис. 4.1, а. Зная первый собственный
вектор Хд-а, используем его компоненты для построения матрицы Твх в
следующей форме:
'0 -1,802 -2,247"
Tbi =010. (щ)
_0 0 1
Умножая матрицу А [см. выражение (р)] справа на матрицу ТВ1, получим
'0 -0,802 - 1,247"
Aj = m6 0 0,198 0,247 . (э)
_0 0,198 0,753 J
Предположив, что нам ничего неизвестно относительно второй формы
колебаний, возьмем первое приближение для вектора перемещений в виде (Х)х
= [1; 1; 1}, что является плохим приближением для действительного
значения собственного вектора. Более разумный выбор этого приближения
позволил бы сойтись процессу итераций?к точному решению за меньшее число
шагов.
Умножая вектор-столбец (X)j на матрицу Ах (согласно выражению (4.100)),
получим вектор (Y)x = тб {-2,049; -0,049; 0,951}. Разделив
согласно выражению
(4.101) последний элемент вектора (Y)x на последний элемент
вектора (Х)х, найдем
для Я2 первое приближение (Яа)х = 0,951/пб. Затем нормализуем вектор (Y)j
путем деления каждой его компоненты на значение последней компоненты [см.
выражение (4.102)], что в результате дает второе приближение для вектора
перемещений №2 = {-2,155; -0,052; 1,000}. Эти результаты, а также
результаты, получаемые на последующих шагах итераций, представлены в
табл. 4.2, причем после пяти шагов итераций процесс еще не сходится.
Продолжая этот процесс в течение одиннадцати шагов итераций, получим, что
процесс итераций сходится при следующих значениях параметров:
Я2 ~ 0,643тб; р\ = " 1,555 - ;
ХМ2"{-1,247; -0,555; 1,000}.
(а')
За'исключением способа, которым был пронормирован вектор Хм2, эти
результаты совпадают с теми, которые были получены в примере 1 (см. п.
4.2).
4.2. Результаты расчетов второй формы колебаний методом последовательных
приближений
Приближенное значение вектора
(X)! <Х)г (X), <Х)4 (X).
1 -2,155 - 1,623 -1,416 - 1,326
1 -0,052 -0,346 -0,461 -0,511
1 1,000 1,000 1,000 1,000
0,951 0,743 0,684 0,662 0,652
А
тб
0 i -'0,802 - 1,247
т 0 1 0,198 -0,247
0 ! 0,198 0,753
Собственные значения (>."Ь/т6
295
После определения второй формы колебаний ее можно исключить из системы
уравнений с помощью процедуры, аналогичной той, которая использовалась
для исключения первой формы колебаний. Используя условия введения
дополнительных связей хг1 = 0 и *Г2 = 0, выразим х2 через компоненты х3,
..., хп и представим соотношения между перемещениями в следующей
матричной форме:
х[ 1 0 0 . . 0
Xi 0 0 d,2 3 . • dn3
Хз 0 0 1 . . 0
%Т1 0 0 0 . . 1
х\
*2
*3
(б')
где
d-23 - dn3=
М33 (ХмцХма - •^М12^мз1)
М22 (^Mll^M22---- ^Ml2^M2l) '
_ Мпп (^Мц^Мза - ^Ml2^M"l) 4422 (^Mll^M22 ^Ml2^M2l)
(В')
Стоящие в скобках выражения являются минорами первых двух
столбцов матрицы Хм, которые появляются в процессе получения
решений для х2, выраженных через х3........хп. Дополнительное
фиктивное перемещение х2 фигурирует в качестве компонент вектора,
стоящего в правой части уравнения (б'). Это уравнение можно переписать в
более компактной форме
Х' = ТВ2Х". (г')
Матрица ТВ2 характеризует зависимость х2, х3, ..., хп от х3, ..., хп.
Подстановкой выражения (г') для Хмг в левую часть уравнения (4.106)
получим
где
A2Xmi = ^Хмь А2 = AjT^.
(4.108)
(4.109)
Теперь уравнение (4.108), в котором отсутствуют члены, описывающие
влияние первых двух форм колебаний, можно использовать в итерационной
процедуре для определения третьей формы колебаний.
Применяя'описанный подход к системе, изображенной на рис. 4.1, а, найдем
что первое из выражений (в')
0,445-1,000-(-1,247) 1000 1,692
"23
0,445 (-0,555) - (-1,247) 0,802
0,753
= -2,247,
а матрица
'1 0 0 1
ТВ2 = 0 0 -2,247
_0 0 1
(Л')
296
Умножая матрицу А [см. выражение (э)] справа на матрицу, получим
"о 0; 0,555"
А2 = тб 0 о; -0,692
0 0: 0,308
(е')
Третий столбец матрицы А пропорционален третьему собственному вектору,
