Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
поэтому для определения последней искомой формы колебаний не требуется
применять итерации. Более того, третья компонента этого вектора равна
собственному значению. Таким образом, имеем
Я3 ~ 0,308тб, р\ = 1/Я2 " 3,247?/т,
Хмз*" {1,802, -2,247, 1,000}. (ж')
Эти значения совпадают с результатами, полученными в примере 1 (см. п.
4.2), за исключением вектора Хмз. который здесь нормирован иначе.
Если система имеет два или более одинаковых собственных значения, они
будут в равной степени главными, и собственный вектор, к которому будет
сходиться итерационный процесс, в свою очередь зависит от выбранного
первого приближенного значения для вектора перемещений. С помощью матрицы
Тв каждый последующий собственный вектор становится ортогональным к
предыдущему собственному вектору, причем это имеет место и в том случае,
когда имеются кратные собственные значения. Поскольку собственные
векторы, соответствующие кратным собственным значениям, часто имеют
нулевые компоненты, необходимо внимательно ознакомиться с проведением
процесса ортогонализации, чтобы избежать деления на ноль.
В качестве простого примера системы с кратными корнями возьмем систему,
рассмотренную в задаче 4.2.9 (см. п. 4.2), и предположим, что три
пружины, на которых закреплена масса, расположены вдоль осей х, у иг.
Положив ki~ k2 = = k3= k, найдем матрицу А для этой задачи:
0 01
А = FM = тб
1
0 1 о о
Как можно убедиться простой проверкой, собственные значения для этой
системы
- X.
тб. Однако собственные векторы здесь неизвестны и их надо опре-
делить, используя тот же подход, что и при решении предыдущего примера.
Выбор приближенного выражения для вектора в виде {xlt уъ zt} = (1, 1, 1}
позволяет удовлетворить уравнению (4.103), поэтому этот вектор становится
первым собственным вектором системы. Первая матрица Tbi [см. выражения
(х), (ц) и (ч) Гимеет вид
Ты
- 1 -Г 1 0
0 1
а матрицу А находим с помощью выражения (4.107):
А1 = АТе
-mb
- 1
Г
1 0
0 1
Для определения второй формы колебаний опять возьмем первое приближение
для вектора перемещений в форме {хг; уг; zt] = (I; 1; 1}, тогда на втором
шаге
297
итераций находим второй собственный вектор {xlz щ, гг} = {-2, 1,1}.
Вторая матрица Тв2 1см. выражения (б'), (в') и (г')] принимает вид
ТВ2
О 0 1
О 0 j 1
С помощью этой матрицы и выражения (4.109) находим матрицу А2:
1 0 ; о"
-о 0 ! о'
А2 - AiTBa - шЬ 0 о ! -1
0 0 : 1
Таким образом, третий собственный вектор равен {xlt уъ z-J = {0, -1, 1} и
ортогонален двум остальным собственным векторам относительно матрицы М.
Подобная система собственных векторов не является единственной, но она
удовлетворяет условиям ортогональности, выполнение которых необходимо для
собственных векторов при использовании метода нормальных форм колебаний.
Итерационный процесс понижения числа степеней свободы системы, описанный
выше, теоретически можно применять многократно до тех пор, пока не будут
определены все частоты и формы колебаний системы со многими степенями
свободы. Однако каждое собственное значение и собственный вектор,
определяемые таким образом, являются только приближенными. Поэтому
проводимая на каждом шаге ортогонализация будет неполной. Более того,
каждое понижение числа степеней свободы сопровождается ошибками
округления, которые накапливаются с каждым шагом. С вопросом о точности
связано и то обстоятельство, что для получения большого числа частот и
форм колебаний требуется выполнять необычно большое число арифметических
операций. Следовательно, как об этом уже говорилось в начале данного
параграфа, итерационный метод лучше всего использовать в том случае,
когда требуется определить только несколько низших форм колебаний. Кроме
того, необходимость выполнения большого числа арифметических операций в
случае систем с очень большим числом степеней свободы требует применения
ЭВМ, особенно тогда, когда трудно предугадать формы колебаний. Поэтому в
приложении к книге дан текст программы на языке БЕЙСИК, под названием
EIGIT3, которая позволяет вычислять три первые собственные значения и
собственные векторы матрицы с помощью итерационного метода.
Хотя итерационный метод позволяет находить только несколько собственных
значений и собственных векторов системы, это не мешает использовать метод
нормальных форм колебаний при определении динамических перемещений в
системе. Если найдены пг форм колебаний, где пг с п, матрица форм (или
Хм) содержит вместо п только пг столбцов. Такая прямоугольная матрица не
имеет обратной матрицы, поэтому вместо выражений, содержащих обратные
матрицы, следует использовать выражения (4.44а) и (4.446), в которых
имеются транспонированные матрицы Хм и Хн; при этом удается определить
только % первых нормальных форм колебаний, тогда как влиянием остальных
форм колебаний на суммарное динамическое
298
перемещение пренебрегаем. Подобный упрощенный вариант метода нормальных
форм колебаний будем называть методом усеченных форм колебаний. В этой
