Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
вектор (Х)х слева на матрицу А, согласно выражению (4.100) получим вектор
(Y)x = тб {3; 5; 6}. Первое приближение для Хх, как следует из выражения
(4.101), можно определить тремя различными путями. Для удобства
проведения дальнейших вычислений разделим последнюю компоненту вектора
(Y)x на последнюю компоненту вектора (Х)ь что дает (Xjjj = (уп)\1(хп)\=
бтб. Прежде чем перейти ко второму шагу итераций, пронормируем вектор
(Y)j путем деления каждой его компоненты на последнюю компоненту [см.
выражение (4.102)], в результате получаем представление для второго
приближения вектора (Х)2 = {0,500; 0,833; 1,000}. Когда используется
нормирование подобного типа, делитель Ь1 = бтб приближенно равен
собственному значению.
Второй шаг итерации состоит в использовании выражений (4.100)-(4.102)
для*получения соответственно (Y)2, и (X)s. Этот процесс итераций
повторяется до тех пор, пока собственные векторы, определяемые на двух
последующих шагах итераций, не совпадут с заранее заданной точностью. В
табл. 4.1 приведены результаты расчетов, из которых видно, что в этом
случае вектор, получаемый на пятом шаге итераций, совпадает с вектором,
найденным на четвертом шаге, с точностью до третьего знака после запятой.
Таким образом, окончательно можно принять
Xj " 5,049m6, р\ = 1 /Хх " 0,198-^- ,
Хдй ~ {0,445; 0,802; 1,000},
(с)
что полностью совпадает с результатами, полученными в примере 1 (см. п.
4.2), за исключением отличающихся способом нормирования векторов Xmi.
После того как найдена основная форма колебаний, можно продолжить этот
процесс дальше и с помощью метода последователь-
292
4.1. Результаты расчетов основной формы колебаний методом
последовательных приближений
Приближенное значение вектора <X)fc (X), (Х)2 <Х)з (Х)4 (X),
1 1 П д -Д. = 12 2 то 1 2 3 1 1 1 0,500 0,833 1,0000 0,452 0,806
1,0000 0,446 0,803 1,0000 0,445 0,802 1,0000
Собственное значение (А^/тб 6 5,167 5,065 5,051 5,049
ных приближений определить собственные значения и собственные векторы для
высших форм колебаний. Если благодаря введению соответствующих
подкреплений первая форма колебаний не реализуется, основной становится
вторая форма колебаний. Если не реализуются ни первая, ни вторая формы,
основной становится третья форма колебаний и т. д. Поскольку число
собственных форм колебаний равно числу степеней свободы, введение
дополнительных связей для соответствующих форм колебаний уменьшает число
степеней свободы системы. Таким образом, можно ожидать, что матрица
коэффициентов после второго шага итераций будет иметь порядок п - 1,
после третьего шага итерации п - 2 и т. д. Однако при проведении числовых
расчетов, а также при использовании ЭВМ удобнее сохранять порядок
матрицы, равный п. Для этого применяется простой прием, суть которого
объяснена ниже.
Ограничение на реализацию соответствующих форм колебаний в системе можно
ввести, положив равным нулю соответствующие перемещения в главной форме.
Из выражений (4.32) и (4.44а) следует соотношение
Хг = Хй'Х = Мг'ХмМХ, (т)
которое связывает главные координаты в векторе Хг с исходными
координатами вектора X. Для того чтобы исключить появление первой формы
колебаний, положим равным нулю компоненту хГ1 в выражении (т) для вектора
Хг:
~ HTfi XMtMX = 0. (у)
Если вектор X берется в качестве собственного вектора Хмг (где i = 2, 3,
..., п), то видно, что это условие положения дополнительной связи
совпадает с условием ортогональности первой и высших форм колебаний по
отношению к матрице М. Для упрощения полагаем матрицу масс диагональной,
тогда развернутая форма выражения (у) имеет вид
-|- МггХтлхг -(- Л133Хм31х3 МппХкп1хп = 0.
293
Поскольку это равенство должно выполняться всегда, выразим перемещения лу
через остальные перемещения следующим образом:
М22ХМ21 " Мзз^МЗ! МппХ Мт /А\
Xl~ МаХ МП 2 МцХмп 3 AfuXMii '*•
Подстановкой этого выражения для лу в исходные уравнения задачи на
собственные значения [см. уравнение (4.99)] получаем п уравнений для ti -
1 неизвестных. Первое из этих уравнений будет представлять собой линейную
комбинацию остальных п - 1 уравнений и поэтому может быть отброшено, в
результате чего получается редуцированная система п - 1 уравнений с п - 1
неизвестными. Однако при определении второй формы колебаний можно
проводить итерации для полной системы п линейно зависимых уравнений, не
понижая порядка матрицы, поскольку отсутствует первая форма колебаний
уравнений. С этой целью представим выражение (ф), дополненное
тривиальными соотношениями вида х2 = х2, Хз = х3, ..., в матричной форме
Xl '0 С12 ^13 • * О п х[
*2 0 1 0 . . 0 х3
*3 = 0 0 1 . . . 0 Хз (х)
*7"_ _0 0 0 . . 1 _ -Хп_
где
____ М22Хм21 МззХмзх МппХмп1 / ¦>
12 Мц-^мц ' 1а Л4цХмц ' ' 1,1 МцХдш
Первый элемент х\ стоящего в правой части уравнения (х) вектора-столбца
является фиктивным перемещением, которое всегда умножается на ноль. В
краткой форме это матричное уравнение имеет вид
Х=ТВ1Х', (ч)
