Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 3. Если (х("), 0 ^ и ^ оо} - сепарабельный случайный процесс со
стационарными независимыми приращениями, почти все выборочные функции
которого являются неубывающими ступенчатыми функциями, обращающимися в 0
при х ^ 0, то
Р { sup [м - х (и)] < х) = 1 - е~ах, (7)
0^ U < оо
где (о - наибольший вещественный корень уравнения Ф (со) = со. Если
O^p^l, то со = 0, а если р> 1, то со>0.
Доказательство. Положим
0(х) = Ы[ц: и - х, {и) > х и 0 ^ и < оо] (8)
и 0 (х) = оо, если и - х (и) ^ х для всех и ^ 0. Тогда
{0 (х), 0 ^ х < оо} - случайный процесс с неотрицательными
стацио-
нарными независимыми приращениями. Таким образом, для Re (2) > 0
Е{е"20 <*>} = <?-*"<*) - (9)
при надлежащем выборе функции co(z). Если теперь %{х) = у, то 0 (х) = х +
0* (у)', где 0'! {у) имеет то же распределение, что и 0 {у), {0* (г/)}
независима от {х(*)}- Иначе говоря,
Е{е-ге(х)} = е-хг--хФ(ш(г)) (Ю)
для Re(2)>0. Сравнивая (9) и (10), получаем
со (гг) = 2 + Ф (со (г)) (11)
66
С а. 3. Флуктуации выборочных функций случайных процессов
при Re(z)>0. Если г - положительное вещественное число, то уравнение
s = z + Ф (s) (12)
имеет один и только один неотрицательный вещественный корень,
и, следовательно, s = co(2). Если z~* 0, то со(.г)->со, где со -
наибольший неотрицательный вещественный корень уравнения (r)(s) = s. Если
O^p^l, то со = 0, а если р> 1, то со>0.
По определению 0 (х)
Р{ sup [h-x(h)]<jc}=1-P{0(jc)<O (13)
для х^О и t^O, а по абелевой теореме
lim Р {0 (x) ^ t} = lim e~xa{z) = е~ш, (14)
t-> оо г->+0
и теорема доказана.
В соответствии с предыдущим, если р > 1, то sup [" - %(")]
0^ U < ОО
есть собственная случайная величина, конечная с вероятностью 1. Если же р
1, то
Р{ sup [и - х {и)\ - оо} = 1.
0 ^ и < оо
Случайная величина 0 (х) представляет собой время первого прохождения
процесса {" - /(")} через х. Ее распределение дается следующей теоремой.
Теорема 4. Пусть {% (и), 0 ^ и оо} - случайный процесс с переставляемыми
приращениями, почти все выборочные функции, которого являются
неубывающими ступенчатыми функциями, обращающимися в 0 при и = 0. Для х ^
0 определим 0 (х) как наименьшее и, для которого и - %{и) = х. Тогда
t
m*)<f}-Jfrf,pfe&)<*-*} об)
X
при 0<x^t.
Доказательство. Очевидно, что
Р{0 (*)<*}= 1 -Р{ sup [и - % (и)] < х}, (16)
0< и<<
а правую часть можно найти с помощью формулы (1).
Дальше мы будем предполагать, что {%("), 0=^ы<оо} - процесс со
стационарными независимыми приращениями, почти все выборочные функции
которого являются неубывающими ступенчатыми функциями, обращающимися в 0
при ы = 0.
§ 18. Двойственные процессы
67
Если р 1, то lim Р {9 (х) ^ t} = 1, а если р > 1, то
t-> ОО
Р {0 (х) = оо} = 1 - е~ах > 0.
Если р<1, то математическое ожидание случайной величины 8 (х) равно
оо
E{0(x)} = x J йцР{х(н)<н-х} = (17)
X
что следует из формулы (37) § 15. Если р=1, то Е{0(х)} = оо. Интересно
отметить, что (17) можно записать также в виде
оо
Е{0(*)}= | Р{0<н - %{u)^;X}du (18)
о
для р < 1.
Если Re(z)>0, то по (9) и (15)
оо
Е{е-гвМ]==е-ш(г) = х J ^-dtP{x(tXt-x], (19)
X
и s = со (z) - единственный корень уравнения d>(s) = s - г в области
Re(s)>0.
Распределение случайной величины 0 (х) и его преобразование Лапласа -
Стильтьеса нашел Кендалл [5]; однако он не дал полного доказательства
своих результатов.
Замечание. Если {% (и), 0 < и < оо} - сепарабельный случайный процесс с
независимыми приращениями, почти все выборочные функции которого являются
неубывающими ступенчатыми функциями, обращающимися в 0 при и = 0, то
формулы (6) и (7) дают при х > О
оо
I dyP {% (у)<у-х} = е~ах, (20)
где со - наибольший вещественный корень уравнения Ф(со) = со.
§ 18. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРХНИХ ГРАНЕЙ ЗНАЧЕНИЙ ДВОЙСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
С каждым вещественным сепарабельным случайным процессом {%("), 0^н<оо},
почти все выборочные функции которого являются неубывающими ступенчатыми
функциями, удовлетворяющими условиям %(и + 0) = %(н) и %(0) = 0,
связывается двойственный процесс ЬС(и), 0^н<°°}, определяемый как
X* {t) = sup {и: х(и)</ и 0<и<оо} (1)
68 Гл. 3. Флуктуации выборочных функций случайных процессов
Очевидно, что для всех t~^0 и х^О
{г* (t) < х) = (х (х) > /}, (2)
откуда
[X* (и) - и ^ х для 0 ^ и t) = {и - % (и) < х для 0 ^ и ^ t + а} (3) и
{и - х* (и) < л: для 0 ^ и ^ /} = (х (и) - и ^ х для 0 ^ и t - *}. (4)
Поэтому если известны распределения верхних граней значений случайных
процессов {%{и) - и} и {и - %{и)}, то с помощью соотношений (3) и (4)
можно непосредственно получить распределения верхних граней значений
двойственных случайных процессов {х*(ы)~*4 и {и - %*(и)}, и обратно.
§ 19. ПРИМЕРЫ
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые специальные случайные процессы
(х(ы), 0^ы<оо} и вычислим все величины, фигурирующие в условиях общих
теорем, доказанных в этой главе.
Сначала предположим, что {%{и), 0 < оо} - сепарабельный
случайный процесс со стационарными независимыми приращениями, почти все
выборочные функции которого являются неубывающими ступенчатыми функциями,
