Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
Ki,Vi(x) = e^xKil,x(x). (37)
2. Устойчивый процесс. Положим для 0<х<оо
= ~~ Г (1 - с) хс ' где 0<с<1. Тогда Я = р = оо,
оо
(r)(s) = Г {1 -с) J ^ - е s*)"^ = s (39^
о
при Re(s)^0 и для х^О
хЦ^с
P(x(0<*} = J fc(y)dy, (40)
О
где
оо
Ш~ (41)
п = 1
при х>1 (см. Поллард [8] и Хумберт [3]).
В частности,
ьм=-5^Ее~''" <42>
и____________________________________________________
h Ы-^ ехр (-ПЧ. 7.(акт). (43)
где
-х/2 fe Т /и \Ь~Чг+т
"-k-'k+m( 1+т) e-udu <44>
74
Гл. 3. Флуктуации выборочных функций случайных процессов
гм - Г (0) 2 * - Г (0)
п=0
где
-функция Уиттекера, определенная при Re(m - k + 1/2)>0 (см. Уиттекер
[21]).
Пусть теперь со = 1 и
/ \ (0) s .
Q (s) = д_дс- (45)
при Re(s)>l. Используя формулу обращения, получаем для х^О
" rtt(l-c)
(46)
(47)
(48)
(49)
Еа (2) = ^
Г (ла+ 1)
- функция Миттаг-Леффлера. Отсюда следует, что
lim e~'W(x) = У(0) =
шпе и' w ! - с '
Теорема 2 § 16 дает еще одну формулу:
W(x) = W(0)
йу
Мс
шах (0, - х)
для всех х.
3. Обобщенный устойчивый процесс. Положим для 0<л:<оо
dy
(50)
где 0<с< 1 и р^0. При р = 0 получаем отсюда.(38). Здесь К = оо, р = срс-
1,
оо
Ф<5>= Г (1- с) J (1 - ^-^)^-^^Йт- = (5 + 1л)с-1Лс
(51)
{*(*)< *} = ^f e-^lcyfc{y)dy,
(52)
где х^О, а функция fc{x) определена формулой (41).
Далее, со - наибольший неотрицательный вещественный корень уравнения
(53)
§ 19. Примеры
75
Если р = с\х° *^1, то ш = 0 и Ф'(0) = срс_1. Если р = срс_1>1, то со > 0
и Ф' (а) = с (рс + <d)(c-1Wc. Если р Ф 1, то по теореме 2 § 16
fW=r(0)
dy_
1 " Ф' ("о) J -ley иМс J Ц1 /с
max (0, -х)
(54)
для всех х.
4. Гамма-процесс. Пусть для х>0
оо
N(x)=*~ j-dy, (55)
X
где р - положительная константа. Тогда А = оо, р=1/р,
ОО
Ф (s) = J (1-е-)e-Bx^ = iog(l+-i-) (56)
о
и
\1Х
Р{Х(0<4=г^у JVV-'rf*/ (57) о
для х > 0 и t > 0. Здесь р - конечное положительное число, и по формуле
(19) § 14 для х^О
X
Н*(х) = jh*(y)dy, (58)
о
оо
h*(x) = \х Г .е -dy (59)
J и
где
u
цх v
при х>0. Тогда
**(s) = .H-log-(l+-?.). (60)
В силу формулы (12) § 16
оо
^)=И?(0)2(у)"я;(л:). (61)
п=0
Если р. Ф 1, то, согласно (14) § 16, для всех х
Ц7(*) = Ц7(0)[ <62)
76
Гл. 3. Флуктуации выборочных функций случайных процессов
где (о - наибольший неотрицательный вещественный корень уравнения реи = р
+ со, причем Ф' (со) = 1/(р + со) и
К"{х) = е~'ис J (c~li|i)r Х(у)У)У~~йу. (63)
шах (0, -х)
Если р=1/р<1, то (о = 0, а если р=1/р>1, то ш>0.
Замечание. Если функция К^(х) известна при р>1, то легко найти Ку,(х) Для
Ц< 1- Действительно, если р< 1, то существует такое число р'>1, что = е-
мД|Л А именно, р*~ р = со, и в силу (63) е^хК^(х) = е^*хКц*(х), т. е.
К"(х) = е(tm)К"*(х), (64)
где = е_|1р и р* > 1.
Например, если р>1 и х<0, то, согласно (37) § 15, К^,(х) = = р/(р-1).
Значит, если р<1 и х<0, то
= (65)
I"w р - 1 р + и - 1 ' 4 '
что вполне согласуется с (62).
Рассмотрим в заключение пример случайного процесса {/("), 0^м<°°} с
переставляемыми приращениями, почти все выборочные функции которого
являются неубывающими ступенчатыми функциями, обращающимися в 0 при и =
0.
5. Процесс Пойа (Лундберг [7]). Предположим, что {%(и), 0 ^ и < оо} -
марковский процесс с пространством состояний / = {0, с, 2с,...} и
вероятностями перехода Р{х(м-+Дм) = = (п+ 1)с\%{и) = пс} = Хп (и) Дц + о
(Ли) и Р {%{и + Аи) = пс\%{и) = пс} = = 1 - (") Дм + о (Ли), где \п (и)
= X (h + п)/(Хи + К) и с, X, h - положительные константы. Пусть Р{х(0) =
0}=1. Тогда процесс {% (0),
0^м<оо} имеет переставляемые приращения. Его можно пред-
ставить также как рандомизированный процесс Пуассона.
Пусть {v6(m), 0^м<оо} для каждого фиксированного 0 есть пуассоновский
процесс с интенсивностью 0, где 0 - неотрицательная случайная величина с
функцией распределения
р {е < х) = г м - pig- J (4f)*¦' ¦if- (66)
0
для х^О. Тогда для 0^м<оо можно использовать представление %(и) = с\в(и).
Отсюда легко получить
Е {%(()} = Xct, (67)
Р Ш = пс) = Рп{М, И) (68)
§ 19. Примеры
77
и
Р {%{и) = тс, %(u + t) = (m + n)c} = Pm(Xu, h)Pn{xt-^~ , m + hj, (69) где
/>"(". А)=(',+*_1)(-я(70)
Предположим теперь, что процесс {%("), 0^"<оо) сепарабелен. Тогда по
теореме 1 § 15
Р{ sup [% (и) - и] < х) =
0
= р {%(t)^t + x}- (~^р[%(у) = у + х,%^) = г + х} =
о <
= Р{Х(0<* + *Ь SS [j^$)f{x(c}-x) = c},x(t) = kc},(7l)
x<cj < t+x
а вероятности в правой части определяются по формулам (68) и (69). В
частности, формула (3) § 15 дает
Р{ sup [х(ы)-ы] = 0} =
гад
= 1~ 2 (1 -г) р (X (0 = г^} =1 - S f1 -т)рШ = Ф (72)
0<у<< /=0
Далее, Е {% (/) 10} = с0/ с вероятностью 1 и, поэтому
Пт = Р{сб <*} = /=¦ (-?-). (73)
По теореме 2 § 14 имеем
11с
Р{ sup be (")-"]}= 0 = С (1 -cy)dF(y), (74)
0<и <оо J
а с учетом (20) получаем - -
I х/с] п
Р{ sup be (Ц) - U) < х 19? = (1 - с0) У е-6 t& {сп~^]П , (75)
0<и<оо ** п"
71=0
если 0^0^ 1/с; при 0> 1/с левая часть равна Ос вероятностью 1.
Соответствующая безусловная вероятность равна
гад i/с
Р{. sup [%{и)-и\ <.*:} = V ^Ctl~.x) f (1 - etj)yne-y(cn-x'>dF(tj).
