Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
обращающимися в 0 при и - 0. Для подобных процессов
Е {e~sxM} = е~иФ(9> (1)
при Re(s)^0, где
оо
Ф(5)= J (1 -e-**)dN(x) (2)
+о
и N {х), 0 < х < оо, - неубывающая функция, причем lim Л'(л:) = 0и
X -> оо
1
J xdN (х) < оо. (3)
+о
В зависимости от вида функции N {х) получаются различные типы процессов
{х(ы), 0^и<оо}.
1. Обобщенный пуассоновский процесс. Если X = - N (0) - конечное
положительное число, то процесс называют обобщенным йуассоновским.
Функцию N {х) можно тогда записать в виде
N(x) = - Л[1 -Н(х)),
(4)
§ 19. Примеры
69
где Н(х)~ функция распределения положительной случайной величины. Если
ф> (s) = | e~sxdH(x)
при Re (s) ^ 0, то
Ф(5) = Л[1-ф(5)] при Re(s)^0. В этом случае
оо
р (х (0 < *} = ^ е~и нп М.
(5)
(6)
(7)
гс=0
где Нп(х) означает п-ю свертку функции Н(х) с собой; На(х) = 1 при х^О и
Н0(х) = 0 при я<0.
Если
а = | xdH(x),
(8)
то р = Ка.
Если р - конечное положительное число, то можно определить функцию
распределения Н* (х) формулой
Я'М = ^ | [1 ~H(y)\dy
О
при х^О и Н*{х) - О при х<0* Тогда
оо
ф*(s) = J dH*(х) =- 1~t(s)
(9)
as
(10)
при Re(s)>0.
Если со - наибольший неотрицательный вещественный корень уравнения Ф (s)
= s, то со = 0 при р = Ка 1 и со < 0 при р = Ка > 1. Если р>1, то,
используя разложение Лагранжа (см. дополнение), получаем
(КхУ-1 У'!
to = К
/=1 о
Найдем теперь W (х). Имеем
r"S J х)
(П)
Q(s) = Je-" dW(x) = ^§±-
(12)
70
Гл. 3. Флуктуации выборочных функций случайных процессов
при Re(s)>(c). Формула обращения дает возможность получить различные
выражения для W (ж). Если число р = Ха конечно и
положительно, то, согласно (6) и (10), Ф (s) = ps^* (s), и по фор-
муле (12) § 16
(r)'W = h7(0)2pXW. (13)
п=0
где Н'п(х) - это п-я свертка функции Я*(х) с собой; Н'0(х) = 1 при Х^О и
#*(х) = 0 при х<0.
Если р =И= 1, то по формуле (14) § 16
^W=y(0)[, _^(а>) -*(*)], (15)
где
оо оо
К (х) = ? J е~*" duHn (и + х). (16)
71 = 0 +0
Далее, учитывая (6) и (12), можно написать
оо оо
! * (4 ** - ,-XTT-U)) = т21 S <-1)" (т^х)"и [* Ш".
О п=0
если Re(s) достаточно велико. Снова применяя формулу обращения, получаем
W(x) = W (0) ? / е-*-" (х - у)п dHn (у) (17)
я-0 0
для х^0.
Располагая полученными только что выражениями, можно применить общие
теоремы этой главы и найти явные формулы для интересующих нас
вероятностей. Полезно более подробно рассмотреть некоторые частные случаи
(i) Пусть
f 1, если х^а,
П(х) = \п ' (18)
(0, если х>а.
Тогда ф (s) = e~sa, Ф (s) = К {I - e~as), p = k и
Ixlaj
= (19)
n=0
для x^0. В силу (17)
[х/а]
W{x) = W (0) V e~k (па-*> Га (na~ *- . (20)
§ 19. Примеры
71
для х^О и И7(л:) = 0 для *<0. Согласно (14),
<21)
где а - наибольший неотрицательный вещественный корень уравнения Л(1 - е-
ао)) = а и
К(х)= 2 е~к (па - х))п/п\. (22)
п> х/а
Замечание. Если требуется указать зависимость К (х) от X, то можно
написать
К(х) = КЛх) = еКх 2 (е ~Ха Ха)п (п - х/а)п/п!. (23)
п>х/а
Если функция Кх(х) известна для Аа>1, то легко получить отсюда Кх(х)
и для Ла>1. В самом деле, если Ла>1, то существует такое
число X*, что Х*а< Г и е~Ха Ха = е~к*аХ'а. А именно
X - Х* = а; функция а определена выше. По формуле (23) тогда e~kx Kx(x) =
e-k*xKk'(x), т. е.
КЛх) = е^Кк*(х), (24)
где Х'а < 1 и е~к*а Х'а = е~ы Ха.
Например, если Ла<1 и лг'<0, то, согласно (37) § 15, К^(х) = = 1/(1- Ха).
Значит, если Ха> 1 и *<0, то
М*)-*"К"Ф)-Т^-ТГ<Г^Г. (25)
что вполне согласуется с (21).
(и) Пусть
Г1 - е-"1* если х ^ 0,
Ж*) = п ^ ' (26)
{ 0, если *<0.
Тогда ф (s) = ц/(ц + s), Ф (s) = As/(p, + s), р = Я/ц и для х^0
Hn(x)=je^y^^riidy = (27)
0
Таким образом, для х^0
P{x(0<4 = e-M + ^e-w J е-ду МУ =
1 0
= е~и 1 + УкуЛ J е-Му-'Ь /, (2 У Xjiiy) dy
L о
(28)
72 Гл. 3. Флуктуации выборочных функций случайных процессов
где
Гг (*) = ]?
п=0
(х/2)2п+г (га + г)!
(г = О, 1, 2, ...)
•модифицированная функция Бесселя первого рода. Для х ^ 0 можно
переписать (28) в виде
Р {% (0 < х} = ^ е
-и Ш)п V (п*);
га!
rt=0
/I
/=га
(hV V JM1
/=0 n= О
оо
га!
Г,-их (i^re-bul№LKdu =
1=0
- 1 - Ке~^х J е~*-" J Ob\ixu) du,
где
/W = /0(2jc'/j) = 2]
Л ХП
п-О
("О2 -
Теперь Р {% (0 = 0} = e"w и для х>0 из (28) следует дР {х^ х]- =
X\ite~u-"x У (Лц/jc),
так как J' (х) = 1'0 (2х'Ь)/х'/г = 1Х (2х'/г)/х'!г.
Далее, Н*(х) = Н(х) и в силу (13) при х^О
Г (*)=№( 0)
п-1
или
II _ х
. есл,
W (0) (1 + Хх), если ц = Х.
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
Если то со = 0, а если Я>ц, то со = А -ц. При
формула (14) дает
W(x)=W (0) [г^г(- у - К (*)], (35)
§ 19. Примеры
73
где (о = 0, Ф'(0) = Я/|х при Я<(х и со = Я - р., Ф'(Я - р) = р/Я при Я>р.
Кроме того,
оо
К(х) = е-"Х J е-(*+и) г/ ^ (2 Ухцу(х + y))dy +
max (0, - х)
( еХх, если л: < О,
+ \ 0, если *>0, (36)
для всех х.
Замечание. Если рассматривать КU) = К^,ц(х) как функцию от Я и (х, то в
силу (36) будем иметь е^хК\, ц (х) = еХхКи, \ (х). Таким образом, если
функция К(х) известна при р = Я/(х<1, то можно получить К(х) и для р =
Я/(х>1, используя соотношение
