Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
Д о к а з а т е л ь с т в о. Равенство (13) можно вывести непосредственно
из (12). Кроме того, можно воспользоваться теоремой 3 § 6. Так как
очевидно, что для 6>0
Р{ sup |(")</г} = Р{ sup {Nr-r)<k}, (14)
0<Ы<Оо 0^U<OO
то из формулы (9) § 6 следует, что
84
Гл. 4. Случайные блуждания
для k=l, 2, .... Эквивалентность равенств (13) и (15) вытекает из
соотношений
оо оо оо
J P{m = k}du = ^P{Nj = j + k} j P{\(u) = j}du (16)
О /•= о о
J Р {v (") = j}du = J е~Хи-^~- du = . (17)
(ХиУ
е "
О О
Теорема 4. Если {? (и), 0 ^ и < оо} - процесс со стационарными
независимыми приращениями и у<1, то для & >0
Р{ sup l{u)<k} = Qk, (18)
О< оо
где
<!9>
k-\
для Re(s)>0, а Т- (s) определяется по формуле (5).
Доказательство. Ввиду (14) эта теорема немедленно следует из теоремы 4 §
6. Но легко доказать ее и непосредственно. Действительно, для k-\, 2, ...
k
Qft = (1 - я, Аы) Qk + ^ Ди 2 KjQk+i-i + о{ки), (20)
/= о
откуда
к
Qk= 2 n/Qk+1-р (21)
/=0
Введя производящие функции, получим
оо
<22>
*=1
при |z|<l, где константа С определяется условием lim QA = 1.
ОО
Таким образом, С=1- у. Если подставить z = e~s в (22), то получится
формула (19).
Положим теперь
0 {к) = inf {": ?(")= - & и 0 sCu< оо} (23)
для к > 0. Если ?(")> - к для всех и ^ 0, то 0(&) = оо. Случайная
величина 0 (к) есть время первого прохождения процесса {?("), 0<|и<оо}
через х = - к, или время прохождения процесса ft* (и), 0 ^ п < оо) через
х = к.
§ 21. Процессы, принимающие целые значения
85
Теорема 5. Если {?("), 0 ^и < оо) - процесс со стационарными независимыми
приращениями, причем я0 > 0, то для 1 ^ i ^ k
Р{ sup I(u)<k-i} = ^, (24)
0<u<9(0
где
оо
(25)
k=\
для Re (s) > со, а со - наибольший неотрицательный вещественный корень
уравнения гр (s) == 0; С - произвольная константа, отличная от 0.
Доказательство. Теорема немедленно следует из теоремы 2 § 7. Мы имеем
оо
w=t <26>
fc-1
для |z|<6, где б -наименьший неотрицательный вещественный корень
уравнения jt(z) = z. Если в (26) подставить z = e~s, то сразу получится
(25), причем 6 = е~".
Теорема 6. Если {? (и), 0 ^ и < оо} - процесс с переставляемыми
приращениями, то при k>0
t
Р (6 (k) < t) = k J P {?* (и) = k}^L. (27)
о
Доказательство. По теореме 1 § 8 P {6 (k) ^ 11 v (t) = n) = 1 - P [r - Nr
< k для r = 1, . .., n) =
П
= Sj p{^/ = /-^ (28)
i=k
если 0 <k^.n. Соответствующая вероятность равна
оо П
Р{е(6)<0 = 2е-м-ДГ-5] jP{N, = j-k} =
n=k j=k
оо оо
Ш)п
п\
i=~k n=j
= Sj V{N, = j-k)l e-^^0^Xdu =
j = k 0
t
= fejp {?(")=-*} iff-. (29)
Теорема доказана.
86
Г л. 4. Случайные блуждания
По формуле (27)
а? (в (*)<<} =^{V{t) = k} (30)
для k-l, 2, ... и />0. Эта формула является аналогом формулы (3) § 2,
найденной еще Муавром.
Теорема 7. Если {|(м), 0 ^ и < оо} - процесс со стационарными
независимыми приращениями, то
Р {0 (k) < оо} = е~~ок, (31)
где со - наибольший неотрицательный корень уравнения T (s) = 0. Если у ^
1 и л, ф 1, то со - 0, а если у > 1 или = 1, то со > 0. При у < 1
ОО
Е{0(?)} = ? J р(Г (") = Л}с/м = ХТГ^ГуГ¦ (32)
о
Если у = 1 и Л! ф 1, то Е {0 (k)} = ОО.
Доказательство. Так как 0(&) = оо тогда и только тогда, когда sup (Nr -
r) = oo, то (31) следует из теоремы 3 § 8. В тео-
1<.Г <О0
реме 5 использовалось обозначение д = е~~а. Утверждение (32) получаем из
(27) с помощью соотношения
ОО ОО
jp{l4u) = k}du = ^P{Nl = j-k} = T^-y (33)
о /=1
для k > 0; при этом второе равенство следует из формулы (26) § 6.
Очевидно, что (32) можно переписать в следующей эквива-
лентной форме:
оо
E{0(6)}=J Р{0<Пи)<?}с?и. ' (34)
о
Теорема 8. Если {|(и), 0 < оо} - процесс со
стационарными
независимыми приращениями, то для Re(s)>0 и k-\, 2, ...
оо
du
Е{е-"0<*>} = */ г-Р{Г(") = ^}у, (35)
или
Е {e-s9 ("} = e-"(s) (36)
где z = со (s) - единственный корень уравнения
Y(2) = s (37)
в области Яе(з)>0.
§ 21. Процессы, принимающие целые значения
87
Доказательство. Равенство (35) сразу следует из (27). Докажем (36). Если
определить р(6) как наименьшее из чисел г, для которых Nr = r - k, то в
силу (20) § 8
Е <*>} = [6 (38)
для | z [ < 1, где w = 6(2) - единственный корень уравнения w = zn(w) в
области | гну |< 1. Так как 0(6) можно представить в виде суммы р(6)
взаимно независимых и одинаково распределенных случайных величин с
функцией распределения F{x)= 1 - е~кх, х^О, причем эти случайные величины
независимы от р(6), то в силу (38)
Е _[6(_А_)]' (39)
для Re (s) > 0. Если положить
8 (ттт)<40>
то сразу получается (36), а сo(s) можно охарактеризовать как единственный
корень уравнения Ч1- (z) = s в области Re(z)>0. Доказательство закончено.
Теорема 9. Если {?* (и), 0 ^ и < оо} - процесс с переставляемыми
приращениями, то для 6 > 0
t
Р{ sup Г(")<6}= 1-6 Г р{|*(") = 6}-^-. (41)
Доказательство. Очевидно, что
Р{ sup Г(и)<6}=1-Р{0(6)</}, (42)
о<"<<
что позволяет сразу вывести (41) из (27). Легко видеть, что верна также
более общая формула
Р{ sup Г(")<6 и
о< ы
t
- 6 J 1Р г (и) = k, г (0 - г (Н) < - /} du
