Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
обслуживающий прибор занят, если в системе есть хотя бы одно требование.
Мы изучим задачи, связанные с флуктуациями длины очереди и флуктуациями
времени ожидания.
Длина очереди в момент t обозначается через %(t) и определяется как число
требований в системе в момент t, включая обслуживаемое, если таковое
имеется. Будем обозначать через \п длину очереди непосредственно перед
поступлением n-го требования, а через ?,п- длину очереди непосредственно
после окончания обслуживания n-го требования.
Время ожидания в момент t обозначается через т](/) и определяется как
время, необходимое для завершения обслуживания всех требований, имеющихся
в системе к моменту t. Если, в частности, обслуживание производится в
порядке поступления, то r\(t) является временем ожидания требования,
поступившего в систему в момент t. При этом т](/) можно интерпретировать
как виртуальное время ожидания в момент t, определяемое для всех / ^ 0.
Если требование поступает в момент t, то его действительное время
ожидания равно т](/ - 0). Виртуальному времени ожидания можно придавать
реальный физический смысл. Например, если рассматривать поступление
телеграфных сообщений, то виртуальное время ожидания равно длине ленты
непрочитанной части телеграфного сообщения к моменту t. Можно даже
представить себе, что используется стрелка с часовым механизмом,
отсчитывающая время, и в момент поступления требования мы передвигаем
стрелку вперед на длину, равную времени, необходимому для его
обслуживания. Так как такие часы идут только до тех пор, пока в системе
есть требования, они в любой момент показывают виртуальное время
ожидания. Таким образом, на этих часах прибывающий клиент может
немедленно увидеть свое действительное время ожидания. Вообще т](/) можно
интерпретировать как время занятости (полной загрузки) прибора в момент
t. Через Г[п мы будем обозначать время ожидания непосредственно перед
поступлением n-го требования. Если обслуживание производится в порядке
поступления, то цп есть истинное время ожидания п-го поступившего
требования.
Процесс обслуживания можно охарактеризовать с двух различных точек зрения
в соответствии с тем, интересуемся ли мы флуктуациями длины очереди или
флуктуациями времени ожидания.
Процесс Q. Предположим, что обслуживающий прибор начинает работу в момент
времени 1 = 0 и к этому моменту ?0 требований уже ожидают обслуживания.
Начальная длина очереди ?0 является случайной величиной, принимающей
неотрицательные
§ 27. Очереди к одному обслуживающему прибору
105
целые значения. Пусть v,, v2, vr, ...-числа требований,
вставших в очередь во время обслуживания первого, второго, . . ., r-го,
...требований, и пусть No = 0, Nr = Vi + ... +vr для r =
= 1, 2 В этом случае будет рассматриваться процесс типа
Q = &,; Nn r = 0, 1, 2, ...}.
Нас будут интересовать распределения следующих случайных величин:
(п = 1, 2, . ..), длины очереди непосредственно перед поступлением п-го
требования;
(/г = 1, 2, ...), длины очереди непосредственно после окончания
обслуживания п-го требования; ?0 - начальная длина очереди;
р" (ft = 0, 1, 2, ...), числа требований, обслуженных в ft-й период
занятости;
а", числа нулей среди ?0, ?,, ...,
числа положительных членов среди ?0, ?,, ..., Оче-
видно, что ап + |3" = ft.
Случайные величины а" и |3" можно также интерпретировать как число
обслуживаний среди первых п обслуживаний, которым предшествует период
бездействия прибора, и число обслуживаний среди первых п обслуживаний,
которым не предшествует период бездействия прибора. При ?0 = г среди
первых п поступающих требований число требований, для которых в момент их
поступления обслуживающий прибор занят, равно р"+1-j.
Все эти случайные величины полностью определяются заданием
5о и Nr, г = 0, 1, 2,--
В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что ?0 и Nr, г = = 0, 1, 2, .
. ., независимы. Случайные величины vb v2, .. ., \r, ... будут либо
переставляемыми случайными величинами, принимающими неотрицательные целые
значения, либо, в частности, взаимно независимыми и одинаково
распределенными случайными величинами, принимающими неотрицательные целые
значения.
Процесс W. Пусть обслуживающий прибор начинает работу в момент времени и
= 0 и в этот момент его начальное время занятости определяется
неотрицательной случайной величиной г) (0). Обозначим через %(и) полное
(накопленное) время обслуживания всех требований, прибывших в интервале
времени [0, м]. В этом случае рассматриваемый процесс будет процессом
образования очереди - процессом типа
W = {т] (0); х (и), 0 < и < оо).
Нас будут интересовать распределения следующих случайных величин:
¦ц(/), времени ожидания в момент t;
106
Гл. 5. Теория очередей
0г(г = О, 1,2, ...), длины r-го периода занятости;
а(/), полного (накопленного) времени бездействия обслуживающего прибора в
интервале (0, t)\
Р (/), полного (накопленного) времени занятости обслуживающего прибора в
интервале (0,/). Очевидно, что a (t) + р (t) = t.
