Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
(76)
О ^ и < оо ллЛ W J
п= О О
78
Гл. 3. Флуктуации выборочных функций случайных процессов
Если х>0, то в силу (1) § 17
Р { sup [и-% (и)] <д:}=1- V Р (х (у) = у - х) =
0<U<( xty<t У
w-x)lc\
= 1" 21 Ьгтт)р[%{с1 + х) = с!] (77)
1=о
как для конечных t, так и для t = oo.
§ 20. ЗАДАЧИ
1. Пусть (х (и), 0 ^ и < оо} - сепарабельный пуассоновский процесс с
интенсивностью Я. Найти Р{ sup [% (и) - и] ^ х] и Р{ sup [и - х (и)] ^
х), t < оо.
0<и</ 0<ы</
2. Пусть (х (и), 0 ^ и < оо} - сепарабельный пуассоновский процесс с
интенсивностью Я. Найти Р {х (и) ^ и для 0^ц<оо}.
3. Пусть (х (и), 0 < и < оо} - обобщенный сепарабельный пуассоновский
процесс с неотрицательными приращениями, для которого Е {х (и)} = Ясш.
Найти Р {% (и) ^*хи Для 0^ц<оо} (см. Летак [6]).
4. Пусть {х (и), 0 ^ ц< оо} - сепарабельный пуассоновский процесс с
интенсивностью Я. Записать для этого случая тождества (37) § 15 и (20) §
17 (см. Йенсен [4] ).
5. Найти сумму
ОО
_Х_\ = V е-х (а 1+х) [Я (аj + х)]1
Чт)-2г
1=0
для *>0 (см. Полна и Сегё [9, т. 1, гл. 3, задача 214]).
6. Доказать следующее тождество Абеля:
k = 0
для всех t и х (см. Абель [1] ).
7. Доказать, что
(x + k)k(t-x-k)n-k = Yi^T
SI п \ /" I K\k ,
.
71 = 0 k = 0
для всех t и х (см. Арфведсон [2] ).
8. Пусть (v (и), 0 < и < оо} - сепарабельный пуассоновский процесс с
интенсивностью Я, а с - положительная константа. Найти
Р { sup [v (и) - си] ^ х] и Р { sup [си - v (")] < х},
o<u<t о
а также их пределы при /-> оо (см. Пайк [10]).
9. В электронной лампе расстояние между анодом и катодом равно t.
Электроны вылетают из катода с энергией, равной 0. Энергия возрастает
линейно с увеличением расстояния от катода, если не произошло ни одного
столкновения с молекулами газа. Выбирая подходящим образом единицу
энергии
Литература
79
можно допустить, что энергия электрона на расстоянии и от катода равна и,
если не было ни одного столкновения с молекулами газа. Интенсивность
столкновений с молекулами газа равна Я, т. е. вероятность того, что
электрон будет иметь хотя бы одно столкновение на длине Ди, равна к Аи +
о (Аи). Если при столкновении электрона с молекулой газа его энергия не
меньше а, то он ионизирует эту молекулу и теряет часть энергии, равную а.
Если энергия при столкновении с молекулой газа меньше а, то ионизации не
происходит и электрон энергии не теряет. Найти вероятность Рп (t) того,
что, проходя все расстояние от катода до анода, электрон ионизирует по
крайней мере п молекул газа (см. [18] ).
10. Пусть {% (и), 0 ^ и< оо) - сепарабельный пуассоновский (обобщенный)
процесс, для которого
ОО
Р (X (И) < *} = 5] е~Хи Нп W'
п=0
где Н (х)- функция распределения неотрицательной случайной величины.
Найти W (х) = Р{ sup [% (и) - и] < х} прямым методом. о< и < °°
ЛИТЕРАТУРА
[1] Abel N. Н., Demonstration d'une expression de laquelle la formule
binome est un cas particulier, J. reine und angew. Math., 1 (1826), 159-
160. (Oeuvres completes, I, Christiania, Grondahl, 1881, pp. 102-103.)
[2] Arfwedson G., Research in collective risk theory. The case of equal
risk sums, Skand. Akt. 36 (1953), 1-15.
[3] H u m b e r t P. Nouvelles correspondances symboliques, Bull. Soc.
Math. France, 69 (1945), 121-129.
[4] Jensen J. L. W. V., Sur une identite d'Abel et sur d'autres formules
analogues, Acta Math,., 26 (1902), 307-318.
[5] К e n d a 11 D. G., Some problems in the theory of dams, J. Roy.
Stat. Soc., Ser. B, 19 (1957), 207-212.
[6] Letac G., Une propriete de fluctuation des processus de Poisson
composes croissants, C. R. Acad. Sci. Paris, 258 (1964), 1700-1703.
[7] L u n d b e r g O., On random processes and their application to
sickness and accident statistics, Thesis, Stockholm, 1940.
[8] Pollard H., The representation of e~x* as a Laplace integral, Bull.
Amer. Math. Soc., 52 (1946), 908-910.
[9] Полна Г., Сегё Г., Задачи и теоремы из анализа, ч. 1, ОНТИ М.-Л.,
1937.
[10] Руке R., The supremum and infimum on the Poisson process , Ann.
Math. Statist., 30 (1959), 568-576.
[11] Takacs L., The time dependence of a single-server queue with Poisson
input and general service times, Ann. Math. Statist., 33 (1962), 1340-
1348.
[12] Takacs L., The distribution of the content of a dam when the input
process has stationary independent increments, J. Math. Mech., 15 (1966),
101-112.
[13] T а к a с s L., Combinatorial methods in the theory of dams, J.
Appl. Prob., 1 (1964), 69-76.
[14] Takacs L., From ballot theorems to the theory of queues, Columbia
Univer-• sity Report CU-41-64-Nonr-266 (59), MS, March 1964.
[15] Takacs L., On the distribution of the supremum for stochastic
processes with interchangeable increments, Trans. Amer. Math. Soc., 119
(1965), 367-373.
[16] Takacs L., A combinatorial theorem for stochastic processes, Bull.
Amer. Math. Soc., 71 (1965), 649-650.
80 Гл. 3. Флуктуации выборочных функций случайных процессов
[17] Т а к а с s L., Application of ballot theorems in the theory of
