Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
O<u<0(c) J \ w W )
Доказательство. Здесь sup [х (и) - и] - неотрицатель-
0<ы<9(с)
ная случайная величина с математическим ожиданием
оо
Е{ sup [х (")-"]} = f Р{ sup [% (и) - и] > х) dx, (22)
0 < и < 0 (с) J 0 <ы<0(с)
где интегральное выражение можно найти по формуле (1).
В заключение докажем теорему об асимптотическом поведении W{х) при х-э-
оо.
Теорема 4. Если р< 1, то
lim W(x) = ^^-. (23)
*->оо 1 Р
Если р =1, то
Ит^М-^, (24)
*->оо л u
где сг2= -Ф"( + 0). Если же р > 1, то
(25)
где со - наибольший неотрицательный вещественный корень уравнения <D(s) =
s. При этом 0 < со < оо.
Доказательство. Если ЦР(0)>0, то W(л:) не убывает при 0^л:^оо и lim W (я)
существует (возможно, бесконечный). Если
оо
р < 1, то по теореме Абеля для преобразований Лапласа - Стильтьеса (см.
дополнение)
lim W(x)= lim Q (s) = - _ф//+0) = у- > (26)
X-"oo s->+0 1 1 P
и первое утверждение теоремы доказано. Если р<1, то lim W{х)
дс-> оо
конечен и можно так выбрать И? (0), чтобы он равнялся 1. Такой выбор
невозможен при р^1, ибо в этом случае lim И?(х) = оо
для всех W (0) > 0.
§ 16. Континуальное обобщение теоремы о разорении
63
При р = 1 тауберова теорема для преобразований Лапласа - Стильтьеса (см.
дополнение) дает
|1т^_"т5ЙМ_^ = ^, (27)
х-хх, х s->+0 w 1 + 0
и формула (24) доказана. Этот результат можно также вывести из теории
рекуррентных процессов '). Именно, при р = 1 отношение W (x)/W (0) можно
интерпретировать как 1 плюс среднее число появлений рекуррентных событий
в интервале (0, х] для рекуррентного процесса, время восстановления
которого имеет функцию распределения Н*(х). Таким образом, согласно
теории рекуррентных процессов,
ИтЩ?) = -Г(0)_
*->00 * 1|,* ( + 0)
что вполне согласуется с (24).
При 02=оо правая часть равенства (24) обращается в 0. Для нахождения
асимптотического поведения W{х) при л->оо в этом
случае можно использовать тауберову теорему Харди - Литлвуда
(см. дополнение). Если при s->0 (0<s<°°)
а W~Xj), (М)
где а!>0 и L(cx)~L(x) для любого положительного с при х -* оо, то
*Ч*> ~ (30)
при х-> оо.
При р > 1 из абелевой теоремы для преобразований Лапласа - Стильтьеса
получаем
lim e~axW (х) = lim (s - ш) = j^L' (31)
Х->оо s-Хй Ш 1 Ш V
в предположении, что lim e~axW (х) существует. Существование
*->00
этого предела можно доказать с помощью тауберовой теоремы Икеара (см.
дополнение).
Замечание. Если использовать явную формулу (14) для W(х), то можно
показать, что
Д">м-?(r)?]-~^ <32>
при р> 1.
') Или процессов восстановления; см. Кокс Д., Смит В. Т., Теория
восстановления, изд-во "Сов. радио", М., 1967. - Прим. ред.
64
Гл. 3. Флуктуации выборочных функций случайных процессов
§ 17. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРХНЕЙ ГРАНИ ЗНАЧЕНИЙ ПРОЦЕССА
{"-*(")}
Рассмотрим сначала случай, когда процесс [%{и), 0<и^Т} имеет
переставляемые приращения, а потом перейдем к случаю процессов со
стационарными независимыми приращениями.
Теорема 1. Если {%(и), О^и^Т} - сепарабельный случайный процесс с
переставляемыми приращениями, почти все выборочные функции которого
являются неубывающими ступенчатыми функциями, обращающимися в 0 при и -
0, то
t'
Р{ sup [и - X (")] < х} = 1 - [ dyP (х (г/)< у - х] (1)
0<u^t J У
х
при 0 < х ^ t ^ Т.
Доказательство. Найдем вероятность дополнительного для { sup [и -
события, т. е. вероятность того, что
О < u < f
и - %(и)>х для некоторого ие(0, /]. Последнее событие может произойти,
если inf {ы: и - %(и)>х} = у, где 0 ^ у ^ t. Тогда %{у) = У~х и и-%{и)^х
для 0 <ы<у, откуда %(у)-%(и)^ ^у -и для О^ы^г/. По теореме 1 § 13
Р (X (г/) ~ X("X г/- ы для 0 < и < у \ %{у) = у - х} = j (2)
для 0 <х^у, причем условная вероятность определена с точностью до
эквивалентности. Если проинтегрировать (2) от х до t по мере dyP (х (г/)<
у - х) = Р {у - * < % {у) < у - х + dy), то получится вероятность
дополнительного события. Теорема доказана.
Аналогично доказывается более общая формула Р {и - х (и) ^ х для 0 < м <
/ и t - %{t)^x - c} =
t
+ с-х}-| jdyP{%(y)^y-x, %(t)>t + c-x} (3)
X
для 0<J(<K7' и c>0,
Теорема 2. Если (х(м), 0 ^и^Т} -сепарабельный случайный процесс с
переставляемыми приращениями, почти все выборочные функции которого
являются неубывающими ступенчатыми функциями, обращающимися в 0 при и =
0, то
t
Е { sup [ы-х(ы)]}= [.-^-Е {[y~x(y)]+) dy. (4)
оnJ У
§ 17. Распределение верхней грани значений процесса {и - %(и)}
65
Доказательство. Так как случайная величина sup [" - %(")]
0<u<(
принимает значения из отрезка [0, t], то
t
Е{ sup [ы-х (")]} = Г Р{ sup [u-x(u)]>x}dx, (5)
о < и < г 0J о < ы < с
где подинтегральное выражение определяется формулой (1).
Заметим, что если Т = оо в теореме 1, то, устремляя в формуле (1) f к оо,
получаем
оо
Р{ sup [н-х(м)Ю}= 1 - [ ^d-yP{x{y)^y~x} (6)
О <" < оо J У
X
для x>Q.
Если (х("), 0 ^ и < оо} - процесс со стационарными независимыми
приращениями, то случайная величина sup [и - %(и)] имеет
0< и < °°
экспоненциальное распределение, как показывает следующая теорема.
