Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
стационарными независимыми приращениями и распределением
Р {? (и) = k) - е~ы {~)mh (2ЯрVM
для k - Qt ±1, ±2,... (см. § 22). Доказать, что t
l-k J Р{1(н) = ^-^--Р(|(/)<"-(^)%{|(0<-А} о
для k>0.
102
Гл. 4. Случайные блуждания
6. Пусть {? (и), 0 ^ и < оо) - сепарабельный случайный процесс со
стационарными независимыми приращениями, для которого Е = eu4f(s) При
Re (s) > 0, где
ОО
W(s) = as-J (i-e-w-.j-SL-JdJVU)
о
и N(x)=- l/х при х>0. Обозначим через 0(c) момент первого прохождения
процесса {? (и), 0 <1 и < оо) через х = - с. Найти
Р{ sup ?(")<*-с)
0 < и < 0 (с)
для 0 < с < х.
7. Пусть (и), 0 ^ 0 < оо) - сепарабельный случайный процесс со
стационарными независимыми приращениями, для которого Е = е~и Is I при
Re(s)^=0, т. е. Р {? ("X х) - '/2 + (1/л) arctg х/и. Процесс {? (и), 0 и
< оо) - устойчивый процесс с индексом с=1; он называется процессом Коши.
Найти
Р { sup ? {и) < х) о <u<f
(см. Дарлинг [2]).
8. Доказать формулу (5) § 25.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Baxter G., Donsker М. D., On the distribution of the supremum
functional for processes with stationary independent increments, Trans.
Amer. Math. Soc., 85 (1957), 73-87.
[2] Darling D. A., The maximum of sums of stable random variables, Trans.
Amer. Math. Soc., 83 (1956), 164-169.
[3] Dinges H., Ein verallgemeinertes Spiegefungsprinzip fur den Prozess
der Brownschen Bewegung, Z. Wahr., 1 (1962), 177-196.
[4] D о о b J. L., Heuristic approach to the Kolmogorov - Smirnov
theorems, Ann. Math. Statist, 20 (1949), 393-403.
[5] К а с М., Some remarks on stable processes with independent
increments, Probability and Statistics. The Harald Cramer Volume,
Stockholm, New York, 1959, pp. 130-138.
[6] Keilson J., The first passage time density for homogeneous skip-free
walks on the continuum, Ann. Math. Statist., 34 (1963), 1003-1011.
[7] Reich E., Some combinatorial theorems for continuoils parameter
processes, Math. Scand., 9 (1961), 243-257.
[8] T a k a с s L., On combinatorial methods in the theory of stochastic
processes, Proc. Fifth Berkeley Symp. on Math. Statist, and Prob., vol.
II, Part I, University of California Press, 1967, pp. 431-447.
[9] 3 о л о т a p e в В. М., Закон двойственности в классе безгранично
делимых законов, Труды Математ. ин-та им. Стеклова, 64 (1961), 52-60.
[10] Золотарев В. М., Момент первого достижения уровня и поведение в
бесконечности для одного класса процессов с независимыми приращениями,
Теория вероятн. и ее примен., 9 (1964), 653-662.
Глава 5 ТЕОРИЯ ОЧЕРЕДЕЙ
§ 27. ОЧЕРЕДИ К ОДНОМУ ОБСЛУЖИВАЮЩЕМУ ПРИБОРУ
Теория очередей начала развиваться в XX веке в связи с запросами
телефонии. Первые работы были сделаны Эрлангом [20 - 22], изучившим
распределение времени задержки вызовов в телефонных переговорах.
Значительный прогресс в математической теории очередей был достигнут в
тридцатые годы благодаря работам Полячека [53, 54], А. Н. Колмогорова
[45], А. Я. Хин-чина [42, 43] и других. В настоящее время имеется
огромное количество литературы по теории очередей и ее применениям (см.
Дойг [19], Саати [66], Вольд [90]). Применяется теория очередей в
основном в технике (телефония, сети связи, электронные вычислительные
машины), в промышленности (обслуживающие автоматы, конвейеры, склады), на
транспорте (аэропорты, гавани, железнодорожные и автобусные станции,
уличное движение, почта), в торговле (рынки, сбыта, банки, билетные
кассы), а также в повседневной жизни (лифты, рестораны, парикмахерские).
Мы будем пользоваться терминами: система обслуживания, требования,
обслуживающие приборы, время обслуживания. На этом языке можно описать
любой мыслимый процесс. Например, в телефонии термины телефонная станция,
вызовы, линии, время занятости соответствуют системе обслуживания,
требованиям, обслуживающим приборам, времени обслуживания.
Механизм образования очереди очень прост. Требования поступают в очередь
и обслуживаются одним или более приборами. После обслуживания каждое
требование выходит из системы. Время, проведенное требованием в системе,
состоит из времени ожидания (возможно, равного нулю) и времени
обслуживания. Время прибора складывается из чередующихся между собой
периодов занятости и периодов, свободных от требований.
Наиболее важные задачи в теории очередей связаны со случайными
флуктуациями длины очереди (линии ожидания) и случайными флуктуациями
времени ожидания (задержки). Знание стохастических законов, управляющих
этими флуктуациями, дает возможность проектировать требуемые системы
обслуживания (достаточно большое помещение для ожидания, достаточное
число приборов и т. д.).
В этой главе мы будем рассматривать следующую математическую модель
обслуживания: в интервале времени [0, оо) требования прибывают на
обслуживание в соответствии с некоторым
104
Гл. 5. Теория очередей
случайным процессом. Прибывшие требования обслуживаются одним
обслуживающим прибором, причем времена обслуживания являются случайными
величинами. Порядок обслуживания не задается, но предполагается, что
