Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
Найдем теперь распределения случайных величин sup ?(м),
0<u<i
sup ?("), 0(х) и sup ?(м). Для этого аппроксимируем про-
0<и < °° 0<"<0(с)
цесс {?("), О ^ и < оо} семейством подходящих нормализованных процессов
случайного блуждания (определенных в § 22). Искомые распределения
окажутся пределами соответствующих вероятностей, вычисленных в § 22.
Зададим семейство случайных процессов {^(и), 0^и<оо} следующим образом:
(и)} для любого X есть сепарабельный процесс
случайного блуждания со стационарными независимыми приращениями,
определенный в § 22, причем связанный с ним пуассонов-ский процесс имеет
интенсивность X и
1 I О, 1 О, {/у\
Р 2 2aX'k ' Р 2 2aX'k ^
для любого Х>а2/а2 при а ф 0. Положим
Ele-s4(u>}=e"^(s). (7)
При Х->оо конечномерные распределения процесса [a%x{u)lx'/2j сходятся к
соответствующим конечномерным распределениям процесса {?(")}. Для
доказательства этого утверждения достаточно показать, что
диЧтО-*<*>• "
где 'F(s) определяется по формуле (4). Но это равенство следует из
формулы (6) и представления
Ч'х (s) = X (qes + pe~s- 1).
О)
92
Г л. 4. Случайные блуждания
В соответствии с этим для *>0
Р{ sup ?(")<*} = lim Р{ sup lx{u)<k}, (10)
где k = [л'/гл:/сг]. Правую часть формулы (10) можно получить либо из
(7), либо из (8), либо из (9) § 22. Формула (8) § 22 дает
t
х - аи \ du
а и I* J и ^
Р{ sup т<х}=1-х С №{?("")<*} *1=1_* С Ф'
о < и < t J дх и а j
(11)
для л: > 0, а формула (9) § 22 дает для *>0 Р { sup g (и) < х] = Р ? (f)
< х) - е2ах'аг'? {? (0 < ~ х} =
<12)
здесь мы воспользовались тем, что
lim (-)* = lim (¦-1 =е2аф*' (13)
оо \ <7 / X -> oo \ 1 - #/(сгА 2) /
Распределение случайной величины sup* ?(") получили Бакстер
0
и Донскер [1] аналитическими методами.
Если а<0, то, полагая в формуле (11) t->¦ оо, получаем
оо
Р{ sup ?(и)<*}=1-? [ф' (14)
о < и < оо а j V auh 1 и11
для х >0. Если в (12) положить t -" оо, получится тот же результат.
Прямое доказательство см. Дуб [4]. Если а^О, то
Р{ sup ?("X*} = 0
О < и < оо
для всех х. Если 0(х) обозначает момент времени, когда в
первый раз | (и) = - х, то из формул (8) и (14) § 22 имеем для
х>0
и 1>0
Р(6 (*)<*} = *} . (15)
где ?' (и) = - ? (и) при н>0. Отсюда
ар (6 (х) <0 __ Д др {Г (0 < х) ^ х ф, I X + at\ dt t - дх
at1'1 V 0t^' I
при x>0 и ?>0.
§ 24. Процессы, не имеющие отрицательных скачков
93
Наконец, с помощью (17) § 22 находим
Р{ sup ?(ц)<л;-с}= (17)
0<u<6(c) w \х>
при 0<с<х, где
W (х) =(е2аХ/°г - 1), если а ф О, (18)
и
^ М = > если а = 0, (19)
а С -нулевая константа. Это немедленно получается из (17) -(19) § 22,
если положить k = [iC/2x/cr], i = [я'/2с/сг] и А,->оо.
Если величины QW, fe = 1, 2, . . ., определяются формулами (18) и (19) §
22, а р и q задаются формулами (6), то
Г (x) dx = lim -^r- V QM exp
J 1 X ^
s?cr
= lim -j--rrr = -~- (20)
A+со X'ъ Wx{sa/X^) Vis)
для Re(s)>co, где со = 0 при a^O и a = 2a/cr2 при a>0. Мы
взяли здесь Ск = CAv7cr, С ф 0, а Ч' (s) задается формулой (4).
Таким образом,
оо
|e-"rM^ = 7^4b:r = T[wrr"-7] <21>
о
при Re(s)>a, а (18) и (19) можно получить по формуле обращения.
§ 24. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ СО СТАЦИОНАРНЫМИ НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ,
НЕ ИМЕЮЩИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ СКАЧКОВ
Пусть {?("), 0 < оо} - вещественный случайный процесс
со стационарными независимыми приращениями, выборочные функции которого
не имеют отрицательных скачков и обращаются в 0 при и = 0 с вероятностью
1. Тогда функция
Е{е-^^} = е"чгМ (1)
определена при Re(s)^0, а наиболее общая форма 'F(s) дается выражением
оо
Ч* (s) - as + у o2s2 - J (1 - e~sx - ) dN (x), (2)
+o
94
Гл. 4. Случайные блуждания
где а - вещественная константа, (^ - неотрицательная константа, а N (я),
0 < х < оо, - неубывающая функция от х, удовлетворяющая условиям lim jV
(лг) = 0 и
Х->°0
1
J х2 dN (л;) < оо. (3)
+о
Заметим, что если
1
[ х dN (х) < оо, (4)
+о
то (2) сводится к виду
оо
VP (s) = as + -j a2s2 - j (I - e~sx) dN (x), (5)
+o
где, вообще говоря, константа а не та, что в (2). Если
оо
J х dN (х) < оо, (6)
1
то (2) сводится к виду
оо
Ч1 (s) = as + у o2s2 - J (1 - e~sx - sx)dN(x), (7)
+o
где константа а также, вообще говоря, отлична от константы а в формуле
(2).
Математическое ожидание случайной величины ?(и) равно Е {? (")} = - ри,
где
оо
Р = а ~ J ПДГ dN (х); (8)
+о
р может равняться - оо, но не + оо. Если р=^~оо, то выполняются условия
(4) и (6), и 'F (s) задается формулой (5).
Далее мы будем предполагать, что {?("), 0 ^ и < оо} - вещественный
сепарабельный случайный процесс со стационарными независимыми
приращениями, причем Р{?(0) = 0}= 1, для Re(s)^0 справедливо равенство
(1) и Д" (s) задается формулой (2). Тривиальные случаи P{?(u)^0}= 1 для
всех и^0 или Р{?(и)=^0}=1 для всех и^гО исключаются. Мы будем также
обозначать ?* {и) - = - ? (и) для всех и положим Е {?(")} = - р
и, где р = Д' ( + 0).
В этом параграфе мы покажем, что все теоремы § 21 имеют
аналоги для процесса {? (и), 0 ^ и < оо}. Для нахождения этих аналогов мы
