Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
Л->0О
неотрицательный корень уравнения Т'((о) = 0. Из соотношения (32) § 21
следует, что при л: > 0 и р>0
сю
Е {0 (л:)} = л: \ - Р {х<? (и)<х + du) =-, (27)
J ^ Р
О
или
оо
Е {0 (*)} =J Р {0 < ?¦* (и) < х) du. (28)
о
Теорема 8. Если х > 0, то для Re(s)>0
E{e-seM} = e-*"<s>, (29)
где z = со (s) - единственный корень уравнения
'Г (z) = s (30)
в области Re(z)>0.
Доказательство. Пусть co^(s) для Re(s)>0 будет единственным корнем
уравнения T\(z) = s в области Re(z)>0. Тогда теорема 8 § 21 дает (29),
где co(s)= lim g(X)(aL(s). При этом
ОО
z = со (s) удовлетворяет уравнению (г) = s и является единственным
корнем уравнения в области Re (г) > 0. Доказательство за-
кончено.
§ 25. Стационарные независимые приращения
99
Рассмотрим теперь процесс {С (и), 0 ^ ы < °°}, где ?* (")= - ?(") при
м^О.
Теорема 9. Если я>0, го
*
PI sup ?'(м) < *1 = 1 - f - Р {х < (и) <х + du). (31)
lo<u<< I QJ "
Доказательство. Так как
PI sup V(u)<x\ = 1 -Р {0 (*)</}, (32)
lo<u<< J
то (31) следует из (24).
Если в (31) положить t-*oo, то получим
00
Р{ sup С*(ы)<*1 = 1 - Г -P{x<C(u)<x + du}= 1 -е-"* (33)
\o<u<<x> I 0J и
для л;>0, где со - наибольший неотрицательный вещественный корень
уравнения xF(s) = 0.
В. М. Золотарев [10] доказал теоремы 4, 6-8 этого параграфа
аналитическими методами.
§ 25. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ СО СТАЦИОНАРНЫМИ НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
Если {?("), 0 ^ "< оо} - вещественный случайный процесс со стационарными
независимыми приращениями и Р {? (0) = 0} = 1, то функция
Е (e~st <">} = еиЧГ {s) (1)
определена для Re(s) = 0 и
оо
Ч! (s) - as + у a2s2 - J 11 - e~sx - { j dN (х) -
+о
-о
_ J (j (2)
- оо
где а - вещественная константа, о2 - неотрицательная константа,
N (х), 0 ^ х < оо, - неубывающая функция от х,
удовлетворяющая
условиям limJV(*) = 0 и
Х->°о
1
J x2dN{x)<oo, (3)
+0
100
Гл. 4. Случайные блуждания
а М(х), 0 ^ х < оо, - неубывающая функция от х, удовлетворяющая условиям
lim М(х) = 0 и
Х-> - ОО
-о
| х2 dM (х)<оо. (4)
-1
Для сепарабельного процесса {?("), 0^ц<оо} в общем случае Бакстер и
Донскер [1] дали метод нахождения распределения функции от случайной
величины т|(?)-- sup ?("). Их результат
0<и<(
можно сформулировать так. Если Re(s)2&0 и 0<ау<оо, то
w
о
J e~wiE {e~sr>{i)} dt = exp [- A j log|l -|]> (5)
где оператор А определяется так же, как в § 11.
Обобщая результат Спицера (формула (9) § 11), Бакстер и Донскер на самом
деле показали, что при s> 0 и w> 0
ОО , ОО ОО V
w J e~wiE {e~sr>^}dt - exp | - J j e~ut[\ - Ae?<If(s)] dt du I.
(6)
0 I to 0 J
Если в этой формуле поменять местами интегралы и оператор А, получим (5).
Бакстер и Донскер смогли упростить формулу (6), выбирая специальным
образом представление для оператора А (формула (17) § 11) и налагая
некоторые ограничения на функцию W(s). Кажется вполне правдоподобным, что
формула (5) выполняется без всяких ограничений. Ограничения
на 4х (s) необходимы только при специализации оператора А.
Во многих случаях двойное преобразование Лапласа - Стильтьеса (5) можно
найти методом факторизации. Предположим, что
1(г, "*№'(*, oof (7)
при Re(2) = 0, где а=±1, р=±1, функция 4х+ (z, w) регулярна и отлична от
нуля в области Re(a:)>0 и непрерывна при Re(2)^0, а Ч7-^, w) регулярна и
отлична от нуля в области Re(a:)<0 и непрерывна при Re(a:)^0. Кроме того,
Пт +(г'-¦>- =0 (Re(z)>0),
| г |->°° 2
Ит lo?Z.~' №) = о (Re (г) < 0).
| 2 |->оо *
§ 26. Задачи
101
Тогда
A{1°g(1 --"-)} = "loS (s, w) + р log (0, w) (8)
= g ]° (9)
о
для Re (w) > 0 и Re(s)>0.
Если т] = sup ? (и) - собственная случайная величина, то
0< И < со
00
E{e-S11}= lim w f e-arfE {e~s1lW} dt (10)
oi->0 J
при Re(s)^0. Формулу (10) можно пЬлучить также факторизацией функции 'Е
(г).
§ 26. ЗАДАЧИ
1. Пусть требования, поступающие в интервале времени (0, оо), образуют
пуассоновский процесс интенсивности Я. Их обслуживает единственный
прибор. Времена обслуживания являются взаимно независимыми и одинаково
распределенными случайными величинами с функцией распределения Н (х) - 1
- е~^х (х^О). Они не зависят от моментов поступления требований. Прибор
бездействует тогда и только тогда, когда в системе нет требований.
Обозначим через ? (t) длину очереди в момент t. Найти вероятность Рц, (i)
= Р {? (t) ^
< * IС (0) = /}.
2. В условиях предыдущей задачи обозначим через 0 (/) момент, когда в
интервале времени (0, оо) впервые ?(ц)=0 в предположении, что ? (0) = i.
Иначе говоря, 0 (г) - продолжительность начального периода занятости.
Найти вероятность Р {0 (г) ^ /}.
3. Пусть {? (и), О и < оо) - сепарабельный процесс броуновского движения,
для которого Е {? (и)} = сш и Var {? (ц)} = <т2н. Найти вероятность Р {-
у < ? (")^х для 0 и /}, где х и у положительны.
4. Пусть {?("), 0 ^ и < оо) - сепарабельный процесс броуновского
движения, для которого Е (? (и)} = аи и Var {? (и) = а2и]. Найти
вероятность Р { sup ?(и)<х)
методом факторизации (см. Бакстер и Донскер fl], а также Дингес [3]).
5. Пусть {? (и), 0^ц<оо} - сепарабельный случайный процесс со
