Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
Й7(0)>0 можно выбрать произвольно.
§ 16. Континуальное обобщение теоремы о разорении
59
Доказательство. Пусть при 0^х^.у<оо
Q (*. у) = Р {% (и) ~ и ^ х для 0 < и < 0 {у - х)} (3)
и Q(x, у) = 0, если x<0<!y<oo. Тогда при
Q(x, y) = Q(x, z)Q(z, у). (4)
В самом деле, при 0 ^и^в(у-х) неравенство %(и) - и ^.х верно тогда и
только тогда, когда %{и) - и^.х при О<!и<;0(з - х) и %(") - и^х при 0(з -
x)^u^Q(y - х). Так как %(и) - и = х - з при м = 0(з - х), то второе из
этих событий независимо от первого и имеет ту же вероятность, что и
событие {% (и) - и ^ з для О<!м^0(у - з)}. Это доказывает (4).
Легко видеть, что Q(x, у)> 0 при Из (4) следует,
что Q(x, y)^Q(x, з), если и Q(x, y)^Q(z, у), если
Таким образом, из (4) следует, что
Q(*.0) = TF§}> (5)
где W (0) - произвольное положительное число, a W (х) - неубывающая
функция от х. Если W(x) = 0 для х<0, то (5) выпол-
няется также при х<0^у<оо.
Если 0<м и 0 + х < у, то
U + X
Q(x,y)= J Q(u + x-z, y)d2P{%(u)^z}~ о
и
- Q (о, у) / йг Р {% (з)< з + х). (6)
о
Первый интеграл в правой части равенства (6) представляет собой
вероятность того, что х(и) = з (0 <!з + х) и 7 (a) - v х
для и ^ v 0 {у - з). Второй интеграл есть вероятность того, что
неравенство х (v) - v нарушается для некоторого v в интервале (0, и), но
х (v) - v ^ х при и v 0 (у, х). Если з = sup {о: % (у) - - v > х и 0 ^ v
и], то х (з) - з = х, и событие {% (v) - v х для з^а^0(у - *)} имеет ту
же вероятность, что и событие для О<!г><:0(у)}, а именно Q(0, у). Таким
образом, мы получили второй интеграл в правой части равенства (6). Если -
и^х< 0 в формуле (6), то ее правая часть равна 0, ибо это есть
вероятность невозможного события.
Если предположить, что у>и + х^О, и умножить обе части равенства (6) на W
(у), то получится
и+х и
W(x)=l W(u + x-z)dt?bi(u)^z)-W{Q) f dg9{x(z)<z + x) (7)
о о
60
Гл. 3. Флуктуации выборочных функций случайных процессов
для 0<и и О^м + лс. Если - и^х<0, то правая часть равенства (7) равна 0.
Положим
оо
Q(s)= ^e~sxdW{x) (8)
о
и перейдем в (7) к преобразованию Лапласа - Стильтьеса:
и
Q (s) = еи Is-ф WJQ (S) _ Г (0) s J ег 1*-ф <S>1 dz. (9)
о
Это соотношение выполняется для всех и> 0. Здесь мы использовали то, что
правая часть формулы (7) при - и^х<0 равна 0. Из (9) следует, что
", , w (о) s /1Л.
Q(s) = 73^j-> (Ю)
и это преобразование Лапласа - Стильтьеса сходится при Re(s)>co, где со -
максимальный неотрицательный вещественный корень уравнения <t>(s) = s.
Если р^1, то со = 0, а если р > I, то со > 0. Теорема доказана.
Мы определили W (х) как функцию, непрерывную справа. Таким образом, W {х)
однозначно определяется своим преобразованием Лапласа - Стильтьеса (2).
Если р - конечное положительное число, что Ф (s) = рзф* (s), где ф*(s) -
преобразование Лапласа - Стильтьеса функции распределения Н (х),
определенной соотношением (19) § 14. Так как i рф* (s) | < 1 при Re (s) >
со, то
оо
Q(s) = = W{0) S P" W (*)]" (!!)
ft-0
для Re (5) > со. Применяя формулу обращения, получаем
W(x) = W(0)%9nH'n(*)> (12)
я-0
где Я*-это n-я свертка функции распределения Н*(х) с собой; Н'0{х)= 1 при
х^0 и Н*0(х) = 0 при *<0.
Функция W {х) является единственным решением интегрального уравнения
R7 (х) = W (0) [Hi (х) + рЯ* (х) * W (х)]. (13)
Приведем теперь другое выражение для W (х).
§ 16. Континуальное обобщение теоремы о разорении
61
Теорема 2. Если р ф 1, то
оо
W(x) = W(0) \_еф,{а) - J dyP{%(у) <у + х} (14)
+о
для всех х, где со - наибольший неотрицательный корень уравнения <D(s) =
s. Если р<1, то ш = 0, если же р>1, го ш>0. Правая часть формулы (14)
равна 0 при л: < 0.
Доказательство. Случай р<1 уже доказан в теореме 3 § 15. Там (0) = 1 - р,
что не ограничивает общности, так как Ц7(0) служит множителем
пропорциональности.
Пусть р>1. Не ограничивая общности, можно предположить, что 1^(0)= 1.
Тогда по формуле (2)
при Re(s)>o и Ц7(*) = 0 при х < 0. Положим для любого х
сходится при 0<Re(s)<o.
Если вычесть e"s/( 1 ~ Ф' ((c))) из W (х) при х^0, то разность будет иметь
преобразование Лапласа
сходящееся при Re(s)^co. Аналогично, если вычесть еах/(1 - Ф'(со)) из
К(х) при х<0, то разность будет иметь преобразование Лапласа
сходящееся при 0<Re(s)^w. Если Re(s) = co, то сумма преобразований (18) и
(19) равна 0 и, следовательно, сумма непреобра-зованных функций также
равна 0, т. е.
для всех х. Это доказывает формулу (14) для р> 1. Если р<1 то 0 = 0 и оба
преобразования (18) и (19) сходятся при Re(s) = 0'
со
о
(15)
со
(16)
+ 0
тогда интеграл
со
(17)
-оо
s - Ф (5) (1 - Ф' (и)) (s - со) '
(18)
Ф (5) - s (1 - Ф' (со)) (s - со) '
(19)
(20)
62
Гл. 3. Флуктуации выборочных функций случайных процессов
Поэтому (20) в этом случае также выполняется, а это доказывает формулу
(14) для р< 1.
Если л:<0, то W{x) = 0. Отсюда можно извлечь интересные тождества, если
специальным образом выбирать процесс {х(и), 0^ы<оо} в формуле (14).
Теорема 3. Если с ^ 0, то
оо
Е{ sup [% (и) - и]} = J (¦W (*} ~ W{ (* ~c)\dx. (21)
