Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
с вещественной оси по формуле b* (Я) = Ь (Я-) (см. § 1.6).
Далее, действуя, как при выводе соотношения (6.25), из формул (6.36) -
(6.37) получаем скобки Пуассона
Неисчезающая правая часть в (6.40) возникает при сравнении вычетов при Х
= Х, в формуле типа (6.24).
Наконец, используя представления (6.30) и соотношения
(6.8), (6.9), (6.11), получаем равенства
Вычисление скобок Пуассона коэффициентов перехода непрерывного и
дискретного спектра на этом заканчивается.
Вспомним теперь, что исходными данными, участвующими в решении обратной
задачи и, тем самым, однозначно параметризующими функции гр (ас) , гр
(лс), являются только коэффициенты перехода b(X), b(X); у.,-, Ъ и
дискретный спектр Xj,Xj, /= 1, . . . , п вспомогательной линейной задачи
(см. §11.1-II.2). Коэффициент а(Х) однозначно определяется по ним при
помощи дисперсионного соотношения
{а (X), у,} = -- а (X) у/.
К - К;
(6.36)
Аналогичным образом получаем
{" (л), У/} =-----------------------------^ а (*¦) Y/
л, - X *
6.37)
и
{b (X), у/} = {b (X), у,-} = 0, п. (6.38)
Ъ = ь(к;)' 4i = b' (АД>
(6.39)
(У/, h} = Щ /V-
(У/Д*} = 0, i,k=\,...,n.
(6.40)
(6.41)
(У/> У*} = (У/. У*} = 0, /,k = 1,. . ., п.
(6.42)
da , (6.43)
212
ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
где Im>.>0 и при е = 1 произведение по нулям отсутствует (см.
Неисчезающие скобки Пуассона переменных Ь(Х), Ъ(Х)\ ^ и Kj, Xj имеют вид
Нетрудно убедиться, что вычисленные скобки Пуассона, содержащие а(Х),
совместны с (6.44) - (6.45) и дисперсионным соотношением (6.43).
Окончательные формулы (6.44) - (6.45) имеют удивительно простой вид. В
следующем параграфе мы дадим их строгую интерпретацию и приведем явные
выражения для канонических переменных типа действие - угол.
§ 7. Переменные действие - угол для быстроубывающего
Настоящий параграф практически завершает общее описание гамильтонова
подхода к модели НШ с быстроубывающими граничными условиями. Мы покажем
здесь, что эта модель является вполне интегрируемой. Доказательство будет
основано на том, что мы явно предъявим канонические переменные типа
действие - угол.
Еще в §1.7 мы показали, что инволютивные интегралы движения /п являются
функционалами только от "половины" данных обратной задачи {b(X), b(X);
Xjt Xj, у ч,-, /= 1.п). Имен-
но, производящая функция 1па(>.) интегралов движения зависит, в силу
представления (6.43), только от |Ь(А.)[2 и набора Xj, Xj. В качестве
"второй половины" естественно взять argfr(7) и набор у у скобки Пуассона
(6.44) - (6.45) подтверждают эту точку зрения.
. Рассмотрим это подробнее, действуя все еще формально в духе § 6;
необходимые пояснения будут даны в конце параграфа. Введем величину
ф(А,) = - arg 6(А,), (7.1)
определенную при 17?(X) | =И=0; при этом считаем, что 0=?1ф(?0< <2л.
Покажем, что
§1.6).
и
{Ь(Х), &(ц)}=2л1'|>с| (1+е|&(Х) |2)6(>.-<ц) (6.44)
hi. = j, k=l, п. (6.45)
случая
(cph), ф(р-)}=0. Действительно, из (6.17) и (6.44) имеем
(7.2)
§ 7. ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ - УГОЛ 213
Найдем теперь величину, канонически сопряженную с ф(А,),
которая является функцией от |Ь(Я) [2. Для произвольной функции f(\b(k)
|2) имеем
{/(|Ь(Я)|2),Ф(ц)} =
П\Ь(>т г, |2 ,niWl /IWRii!I f| b (x) " 1 =
2i I1 Wl ИЮ J 2i ь(") I Wl Ир) J
^ _J_ Г (I ИЯ) I WO /_m {b ~b {}i)} _ \ =
2f &(p) V *(p) *2(P) /
= 2п|"|/'(|&М|я)(1 + е|Ь(Я)|2)6(Я -p), (7.4)
где штрих над f означает производную. Коэффициент при ё(к-р) в правой
части (7.4) превращается в 1, если
f№= "Г~1п(1 + 6*)- (7-5)
2ях
Отсюда окончательно получаем, что величины
р(Я)= -!-in (1 + ф(Я)|2),
2ях
(7.6)
Ф(Я) =- argb(k), -оо <Я<оо,
являются канонически сопряженными переменными, т. е. их единственная
неисчезающая скобка Пуассона имеет вид
(р(К), ф(р)} = 6(Я-р). (7.7)
Отметим, что переменная р(Я) неотрицательна при всех X. Действительно,
это очевидно при е=1, а при е= -1 это вытекает из неравенства
|&(Ь)|<1, (7.8)
справедливого благодаря условию (А) (см. §1.6). Неоднозначности в
определении величины ф(Я) можно избежать, если вместо р(>") и ф(Я)
рассматривать комплекснозначные функции
Ф (а) = Y рД) е-'ч> я>, ф (/.) _ yj^j ew*.), (7.9)
Которые определены уже при всех К и исчезают, если Ь(Х)= 0.
Как и Ь(Х), функция Ф(Я) является функцией типа Шварца, при
этом ее гладкость в случае и<0 обеспечивается условием (7.8). Из (7.2) и
(7.7) получаем выражения для скобок Пуассона:
{Ф(Я),Ф(р)} = {ф(Я),Ф(р)} = 0,
(7.10)
{Ф(/.),Ф(р)} = г-б(/.-р),
Которые аналогичны исходным скобкам Пуассона (1.14) для 4>(х) и ф(х).
214
ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
Далее, как_ следует из формул в § 6, данные непрерывного спектра Ь(К),
Ь(К) находятся в инволюции с данными дискретного спектра Ал А,,-, Чь
Среди последних также нетрудно выделить канонические переменные. Именно,
перепишем (6.45) в виде
jlnyy, = (7.11)
и воспользуемся равенством (6.41)
Ппу/, - A*1 = 0, i\k=l (7.12)
i. z J
Отделяя в (7.11) - (7.12) вещественную и мнимую части, мы получим, что
для переменных
Pi = ql - In j y{ |,
(7.13)
