Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
соображений.
Начнем со скобки Пуассона {F, G}j. Для наблюдаемой G - допустимого
функционала на фазовом пространстве Ль,в-градиент удовлетворяет условию
квазипериодичности
grad G(x + 2L) = Q_1(0)grad G(x)Q(Q), (5.57)
совпадающему с условием квазипериодичности для матрицы UQ(x). В
определении действия A-оператора на gradG(x) участвует диагональная
матрица [Ua{x), gradG(x)], периодическая с периодом 2L вследствие (5.57).
Если эта матрица имеет нулевое среднее
L
| [U0 (х), grad G (х)] dx =0, (5.58)
-L
то периодической останется и матрица d~l([U0, gradG])(x), а
антидиагональная матрица AgradG(x) будет квазипериодиче-ской. Поэтому
подынтегральное выражение в (5.55) периодично и интеграл не зависит от
выбора фундаментальной области.
Однако в определении действия оператора d-1 на диагональные бесследовые
матрицы с нулевым средним имеется произвол- аддитивная добавка
вида са3. Покажем, что если наблю-
даемая F также удовлетворяет условию (5.58), то выражение {F, G}j не
зависит от с и тем самым корректно определено.
Указанный произвол в выражении для AgradG(x) сводится к слагаемому
со3[и0(х), о3]=-2ci/0(x); его вклад в (5.55)
§ Ь. Л-ОПЕРАТОР И ИЕРАРХИЯ ПУАССОНОВЫХ СТРУКТУР 203
имеет вид L
Г tr (grad F (л) [U0 (х), а3]) dx =
I J
L
= icx | tr ([t/e (лг), grad F (*)] o3) dx = 0, (5.59)
-L
если F удовлетворяет условию (5.58). Действительно, матрица [U0(х),
gradG(x)], как диагональная бесследовая матрица, пропорциональна сг3, и
соотношения (5.58) и (5.59), после замены G на F, эквивалентны.
Таким образом, скобка Пуассона {F, G}4 действительно корректно определена
для наблюдаемых F и G, удовлетворяющих условию (5.58). Ее
антисимметричность следует из формальной антисимметричности оператора
ia3A.
Условие допустимости (5.58) имеет наглядную гамильтонову интерпретацию.
Действительно, соотношение
L
( tr (IUU (х), grad G (*)] а3) - 0, (5.60)
-L
эквивалентное (5.58), можно записать в виде
{G, /1}0 = 0, (5.61)
если использовать определение (5.51) скобки Пуассона { , }0 и формулу
(5.35). Последнюю формулу в силу (5.55) и (5.34) можно переписать в
терминах скобки Пуассона { , }у.
{G, /0}, = 0. (5.62)
Из обещанного выше тождества Якобн получаем, что если наблюдаемые
F и G удовлетворяют условию (5.62), то ему
удовле-
творяет н {F, G},. Таким образом, условие (5.61) корректно отбирает
алгебру наблюдаемых, на которой определена новая пуассонова структура.
Рассмотрим теперь скобку Пуассона {F, G}n для произвольного
натурального п. Повторяя приведенные выше рассуждения,
убеждаемся, что эта пуассонова структура определена на наблю-
даемых, удовлетворяющих условиям
{G, /i}0 = . • . = {G, /п}о=0. (5.63)
Эти условия можно переписать в виде
{G, /_"+1}п = . . . = {G, /0}" = 0, (5.64)
что позволяет выделить'алгебру наблюдаемых, ассоциированную со скобкой
Пуассона {,}" (с точностью до непроверенного пока тождества Якоби).
204 ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
Сходные рассуждения позволяют корректно определить скобки Пуассона {,}" и
для отрицательных п. Мы разберем подробно лишь случай п= -1.
Формальное выражение
L
{F, G}_! - - j" tr (grad F (х) ОдА^1 grad G (х)) dx (5.65)
-L
имеет смысл, если gradG(x) принадлежит области значений 1гпА оператора А:
grad G(x) =АЯ(х), (5.66)
где антидиагональная матрица Н(х) удовлетворяет условию
С lU0(x),H(x)]dx = 0, (5.67)
-L .
т. е. принадлежит области определения оператора А. Условие (5.67)
переписывается в виде
L L
0= ^ tr (Я (х) <т3 grad 1г (х)) dx= ^ tr (Я (х) о3А grad /, (х)) dx =
-L -L
L
- ^ tr (grad G (х) Од grad /0 (х)) dx. (5.68)
-L
Таким образом, получаем необходимое условие корректности формулы (5.65)
{G, /о}о = 0. (5.69)
Если этому условию удовлетворяет также и F, то формула (5.65) не зависит
от произвола в (5.66), который выражается в виде аддитивной добавки вида
cU0(x). Действительно,
L
с tr (grad F (х) (TgA^Ug (х)) dx -
-L
L
= CK I' tr (grad F (x)OgA '1 grad /г(х)) dx =
-L
L
= ex ^ tr (grad F (x) a3 grad I0 (x)) dx = 0. (5.70)
-L
Наконец, условие (5.69) является не только необходимым, но и достаточным
для того, чтобы grad G(x) принадлежал 1шА. Действительно, его можно
интерпретировать как условие ортогональности к пространству КегА - ядру
антисимметричного операто-
§ 5. Л-ОПЕРАТОР И ИЕРАРХИЯ ПУАССОНОВЫХ СТРУКТУР
205
ра Л. При этом ядро КегЛ понимается по модулю неоднозначности вида cU0(x)
в определении оператора Л.
Условие допустимости (5.69) в терминах скобки Пуассона {,}_! может быть
записано в виде
{G, /,}_, = 0 (5.71)
и корректно выделяет алгебру наблюдаемых.
Аналогичным образом со скобками Пуассона п>1,
связываются условия допустимости
{G, = {G, /-"+1}" = 0, (5.72)
или
{G,= {G, Л}_" = 0. (5.73)
Они выделяют алгебру наблюдаемых, ассоциированную с соответствующей
пуассоновой структурой.
Отметим, что интегралы движения /" являются допустимыми для всей иерархии
пуассоновых структур {, }т и находятся в инволюции по отношению к каждой
из них:
ih, Un=0, (5.74)
