Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Tl (X) = ехр { U (.г, X) dx (5.37)
-L
(см. § 1.2-1.3). Дифференцируя его по X, имеем dTL (Я) L
j Т (L, х, X) -Ц- (х, X) Т (х, - L, X) dx =
L
= J Т (L, х, Л) а,лТ (х, - L, X)dx, '(5-38)
dk
-L
L
-L
так что
- tr TL (X) Q Г0) = - f tr (T (x, - L. X) Q (6) T (L, x, X) a,)
dx =
dk 4 2t J
L
31П p, (Я) Д
=----^| tr \i (x, X) a3dx. (5.39)
-L
В последнем равенстве мы использовали формулу (5.8). Соотношение (5.36)
следует из (5.39) по формуле дифференцирования сложной функции.
Правая часть в (5.36) явно выражается через А-оператор при помощи формулы
(5.23):
L L
^ tr At (х, X) a3dx = 4L + 4i J сГ1 tr (U0a.} (Л - л)-1 U0) (х) dx,
(5.40)
-L -L
а левая часть, так же как и pL(X), может быть использована в качестве
производящей функции локальных интегралов движения:
±PLm = -L-*i(5.41) 1
Сравнивая (5.41) с разложением по обратным степеням X в
(5.40), получаем окончательную формулу
L
In - -Г d~* (tr U0a3AnU0) (x)dx, n > 1. (5.42)
iv.n J
-L
200 гл. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
При этом в разложении правой части (5.40) коэффициент при Я"1 исчезает
ввиду бесследовости матрицы U0(x)o3U0(x).
Интересно отметить, что формула (5.42) допускает продолжение и на
отрицательные целые значения номера п, определяя серию нелокальных
интегралов движения /", л< 0.
Исходным пунктом является разложение целой функции Pi(X) в ряд Тейлора
pL(X) = x 2 /_"Г. (5.43)
№0
Формулы (5.12) и (5.15) для матрицы М(х, X), задаваемой со-
dpL
отношением (5.8), а также формула (5.36), связывающая ---------(X)
dX
и М(х, X), справедливы независимо от использованного выше
асимптотического разложения по степеням Яг1. По определению оператор
с!-1 ставит матрице [U0(x)t M(nd)(y, Я)] матрицу
M{i) (х, X) -сг3 в согласии с граничными условиями (5.22). В результате
для коэффициентов разложения матрицы Af(nd)(y, X) в ряд Тейлора
M nd' (х, X) = - 2 Mln"d) (у) Хп (5.44)
П-О
получаем из (5.15) соотношения
А М^(х) = М%%(х) (5.45)
и
AMo"d) (х) = 2iU0 (у). (5.46)
Эти равенства продолжают соотношения (5.18) - (5.19), так что
формула
Л4"к]' (у) = 2г'Л"_17/0 (у) (5.47)
справедлива теперь для всех целых п.
Повторяя выкладки, сделанные выше для положительных п, приходим к формуле
(5.42) для отрицательных п.
Интеграл У0= -Рь(0) формально не попадает в набор соот-
X
ношений (5.42). Однако можно проверить, что к формуле (5.42) при я^=0
применимо правило Лопиталя, так что
L
/0 = -J" d~1(t'cU0a3\nAU^{x)dx. (5.48)
-L
Мы не будем приводить малоинтересные громоздкие детали вычислений.
§ 5. Л-ОПЕРАТОР И ИЕРАРХИЯ ПУАССОНОВЫХ СТРУКТУР
201
Формулы типа (5.33) для градиентов интегралов движения также справедливы
для всех целых значений п. Для доказательства следует в общем
представлении нулевой кривизны (3.34) разложить матрицу V{x, к, ц) в ряд
Тейлора по переменной р
оо
V(х, к, р) ¦= х 2 V-n (х, к) рп (5.49)
п=0
и определить коэффициенты из формул (5.2) и (5.44).
Конечно, приведенные формулы мало пригодны для вычислений, так как
оператор Л не может быть обращен явно. Однако мы убедимся сейчас, что они
достаточно интересны с идейной точки зрения, связанной с гамильтоновой
интерпретацией. Именно, эти формулы позволяют нам ввести обещанную выше
иерархию пуассоновых структур.
Начнем с того, что объясним естественность обозначения
grad для матрицы вида (5.31), которое мы введем теперь для произвольной
наблюдаемой F:
grad F(х) = -L- (а+ + ~-lF а.) . (5.50)
у к V бф (*) 6ф (*) !
В этих терминах скобка Пуассона наблюдаемых F и G на фазо-
вом пространстве Жъ,в записывается следующим образом:
L
{F, G} = -у- j tr (grad F (x) a3 grad G (x)) dx =
-L
L
= y- j tr (o3 [grad F (x), grad G (x)]) dx (5.51)
-L
и определяет антисимметричную форму градиентов в соответствии с общими
формулами гамильтоновой механики. Уравнения движения для координат ф(х),
ф(х) на фазовом пространстве параметризованном матрицами U0(x), имеют вид
= {F, U0 (х)} = Ыа3 grad F (х), (5.52)
at
где в качестве гамильтониана выбрана наблюдаемая F. Таким образом,
матрица ;ха3 играет роль матрицы Якоби для этой параметризации.
Рассмотрим теперь п-е уравнение НШ
= {/я> у (я)} = гха3grad /" (х). (5.531
dt
В силу соотношений (5.34) оно, может быть записано в виде
dt/oM .'.."Л"! Л, /ССЛ
202
ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
где т - произвольное целое число. Это наводит на предположение, что
оператор А'п также может играть роль матрицы Якоби. Соответствующая
гипотетическая пуассонова структура имеет вид
L
{F, G}m = - Г tr (grad F (х) crrV"grad G (.v)) dx, (5.55)
i J
-L
так что уравнение (5.54) определяется по этой скобке Пуассона
гамильтонианом /,,_т:
d-M<ML=:{In",n,U0(x)}m. (5.56)
Наша основная пуассонова структура отвечает случаю т = 0.
Чтобы придать строгий смысл этим расуждениям, следует проверить, что
форма (5.55) корректно определена, антисимметрична и удовлетворяет
тождеству Якоби. Здесь мы проверим первые два свойства. Тождество Якобн
будет получено в части II как следствие общих ли-алгебраических
