Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
где k, п и m - произвольные целые числа.
На этом мы заканчиваем обсуждение иерархии пуассоновых структур для
квазипериодического случая. Подводя итог, подчеркнем, что их
характеристическим свойством является возможность записать высшие
уравнения НШ в виде (5.56).
В заключение обсудим предельный переход L-*-оо. Чтобы не вдаваться в
излишние технические детали, мы ограничимся рассмотрением только
быстроубывающего случая.
Здесь оператор d~\ участвующий в операторе Л, может быть определен на
произвольных быстроубывающих функциях f(x) с сохранением свойства
формальной антисимметричности:
сГ1/ (дс) = -1 f | f(y)dy - ^f (у) dy) . (5.75)
\ - 30 X /
Образ такого оператора содержит, помимо шварцевских функций, еще и
функции с неисчезающими предельными значениями при |х|->-оо. Однако Л-
оператор переводит матрицы типа Шварца (т. е. матрицы со шварцевскими
матричными элементами) в матрицы того же типа, поскольку в его
определении d~l сопровождается умножением на быстроубывающую матрицу
U0(x).
При таком определении оператора Л приведенные выше формулы для
интегралов движения /", их градиентов и иерархии
пуассоновых структур остаются в силе после замены в формулах
(5.42), (5.48), (5.51) и (5.55) области интегрирования (-L, L) на всю
вещественную ось. При этом, в отличие от квазипериодического случая, в
определении скобок Пуассона {,}" для п>О не требуется сужать алгебру
наблюдаемых. Однако эта пуассо-
206
ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
нова структура оказывается вырожденной: у нее существует аннулятор- центр
скобки Пуассона {,}". Этот аннулятор порождается наблюдаемыми F, для
которых grad/•'(л:) принадлежит Кег Л".
Для пуассоновых структур {,}" с л<0 условие допустимости остается, однако
в гораздо более слабом виде, чем в квазиперио-дическом случае: функции
grad/^x), отвечающие допустимым наблюдаемым F, должны принадлежать 1шЛ_п.
Эти условия особенно просто выглядят в терминах переменных типа действие
- угол, которые мы построим в § 7.
§ 6. Скобки Пуассона коэффициентов перехода
в быстроубывающем случае
Как отмечалось в конце § 2, в быстроубывающем случае до>-казательство
полной интегрируемости нашей модели проводится явно путем построения
канонических переменных типа действие- угол. В следующем параграфе мы
убедимся, что эти переменные строятся в терминах коэффициентов перехода
ненрерыв-ного и дискретного спектра, введенных в § 1.5-1.6. Здесь же мы
получим вспомогательные формулы - вычислим скобки Пуассона этих
коэффициентов перехода.
Напомним, что коэффициенты перехода непрерывного спектра определяются из
приведенной матрицы монодромии
Т (Я) = lim Е (- х, к) Т (х, у, k) Е (у, к) = ( а (Я) f {1)) , (6.1)
' Ь (Я) а (Я) /
у^-ао
где е = sign х, к вещественно и Е(х, к) =ехр|-^- а3| . Коэффициенты
перехода дискретного спектра появляются лишь в случае е= -1 и вводятся
посредством соотношения
7<_1) (х, к,) = у/П2) (*, М), / = 1, - -. , п, (6.2)
где kj - нули функции а(к) в верхней полуплоскости переменной к. Здесь
7"i (х, к) и Т (+ (х, к) обозначают, соответственно, первый и второй
столбцы решений йоста Т±(х, к), которые при вещественных к определяются
как пределы
Т±(х, к)= lim Т (х, у, к)Е(у, к). (6.3)
Именно указанные столбцы матриц Т±(х, к) допускают аналитическое
продолжение в верхнюю полуплоскость (подробнее см. в § 1.5-1.6).
Мы будем исходить из основной формулы, доказанной в §1: {Т (х, у, к) 3 Т
(х, у, р)} =
= [г (7 - а), Т (.V, у, к) (r) Т (х, у, р) ], у<х, (6.4)
§ 6. СКОБКИ ПУАССОНА КОЭФФИЦИЕНТОВ ПЕРЕХОДА
207
и перейдем в ней последовательно к пределам, возникающим в (6.1), (6.3).
При этом наши рассуждения будут носить формальный характер. Их
интерпретация в терминах алгебры наблюдаемых на фазовом пространстве Жй
будет дана в следующем параграфе.
Начнем с вычисления скобок Пуассона решений Поста Т-(х, Я) при
вещественных Я. Для этого умножим (6.4) справа на матрицу Е(у, К)(r)Е(у, р)
и перейдем к пределу при у->-оо. В левой части мы получим искомую матрицу
скобок Пуассона {7'_(.v, Я) (r)7'_(лс, р)}. Для вычисления предела правой
части разобьем коммутатор в (6.4) на два слагаемых. Заметим, что при этом
каждое из них будет сингулярно при Я = р, и поэтому для определенности
зафиксируем выбор обобщенной функции
--- в виде V. р. ¦---. Поскольку выражение (6.4) несинп -
). - U Я - U
лярно при Я = р, то ясно, что этот выбор не влияет на конечный результат.
'В слагаемом л (Я,-р) (Т(х, у, Я) (r) Т(х, у, р)) матрицы Д(у, Я) и Е(у, р)
умножатся слева на соответствующие им матрицы перехода. и в пределе при
у->-оо мы получим г (К-р)(7'_(х, Я)(r) (r)Г_(х, р)). Однако в слагаемом (Т(х,
у, k)(r)T(x, у, р))г(Я-р) этого не происходит, и мы перепишем его вклад в
виде произведения матрицы Т(х, у, Я)Д(у, Я)(r) Г (л:, у, \i)E(y, р),
которая сходится при у-*¦-оо к Т-(х, Я)(r)7'_(х, р), и матрицы (Е(-у,
Я)(r)?(-у, р))ДЯ-р) (Е(у, Я)(r)Д(у, р)). В силу явного вида (1.19) матрицы г
(К) и свойства перестановки (1.10) ее можно переписать в виде (Д(у, р-
