Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тахтаджян Л.А. -> "Гамильтонов подход в теории солитонов " -> 62

Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.

Тахтаджян Л.А., Фадеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов — Москва, 1986. — 528 c.
Скачать (прямая ссылка): galmitonovvteoriisolitov1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 180 >> Следующая

сказать, что пока непонятен внутренний смысл метода r-матрицы. Тем не
менее мы надеемся, что к концу книги в части II мы объясним его
естественность, исходя из фундаментальных ли-алгебраическнх соображений.
490
ГЛ. Ш. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
§ 4. Интегралы движения в быстроубывающем случае и в случае конечной
плотности
В этом параграфе мы вернемся к интегралам движения и рассмотрим их с
гамильтоновой точки зрения для быстроубыва-ющих граничных условий и
случая конечной плотности.
Начнем с быстроубывающего случая. Как мы показали в § 1.7, локальные
интегралы движения /" получаются из соответствующих функционалов для
квазипериодического случая с '0 = 0 предельным переходом L-*-oо. По
построению функционалы /" соответствуют наблюдаемым на фазовом
пространстве Жъ. Поэтому их скобки Пуассона также получаются предельным
переходом L-*-oо, так что в силу рассуждений в § 2 интегралы движения /"
находятся в инволюции:
{/n,/m}=0. (4.1)
Таким образом, и в рассматриваемом случае потоки на фазовом пространстве
Ж0, порожденные высшими уравнениями НШ, коммутируют, а для самих
уравнений справедливо представление нулевой кривизны, где матрицы U(x, Я)
и Vn(x, л) даются теми же формулами, что и в § 3.
Роль производящей функции интегралов движения 1п играет
- In а (4, где коэффициент перехода а (К) был введен в § 1.5.
I
При этом асимптотическое разложение - In а (Я) по степеням
Я-1 получается из соответствующего разложения для рь(Х) Л-XL при L-*-oо
(см. § 1.7). Это наводит на предположение, что функционалы - In а (л)
являются инволютивными, так же как и i
pL (X). В этом мы убедимся в § 6-7, где покажем, что функционалы а (Я)
при 1тЯ>0 соответствуют наблюдаемым на фазовом пространстве Ж0, а скобки
Пуассона {а(Я), а(р)} и {а(Я), а(р)} исчезают.
Рассмотрим теперь граничные условия конечной плотности. Как отмечалось в
§ 1.10, функционалы /" для квазипериодического случая уже не имеют
пределов при L-*-oо. Для их регуляризации следует использовать
асимптотические разложения функции Pl (Я) -г kL по степеням Я-1 или k~l,
где k(X)=^Xz-со2 (см. § 1.8). В этих разложениях уже возможен почленный
предельный переход L->-оо, в результате которого получаются функционалы
на фазовом пространстве Ж9,а- Однако, как отмечалось в § 1.10, при этом
могут возникать недопустимые функционалы на Ж р.в, т. е. функционалы, не
соответствующие наблюдаемым. Там же указывалось, что допустимые
функционалы получаются из асимптотического разложения pL(Я) Л-kL по
степеням k~l. Здесь мы докажем это утверждение, используя
§ 4. ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ 191
полученное в предыдущем параграфе выражение для скобок Пуассона (рДр),
U(x,X)}.
Напомним, что справедливо разложение
PL (X) = - kL + | + х 2 -~Г + 0 (Г* Г). (4-2)
П=1
где X из (т. е. |А,| ^со и X вещественно) и )А,)-"-оо. Функционалы /"
имеют пределы при L->-oо
Jn,p = lim Jn, (4.3)
L-*oo
в частности, Ji:P = Np, J2t(,=P, /зр=--#р. Производящей функцией
интегралов движения является функция -г Ina"(X)e~ie/2,.
асимптотическое разложение которой при )А)-"-оо, X из получается из (4.2)
предельным переходом при L->oо и имеет вид
1 _i§ j
I In ар (а) е" => = X 2 -^ + О (I k Г) (4.4>
п-= 1
(см. § 1.8-1.10). Мы докажем, что при л>1 вариационные производные -- и
_П|Р исчезают при |.г|-"-оо, так что функ-бМ5 Р) <5ф (И ^
ционалы р, л>1, в отличие от /1>р (см. § 1.1), являются допустимыми на
фазовом пространстве J#Pie.
Для этого обратимся к основным формулам предыдущего параграфа
{pL (р), U (х, ?w)} = (х, a, u) + [V (х, К, р), U (х, Я)] (4.5>
ОХ
И
V (х, X, р) = --^----- (I + W (х, р)) о3 (I + W (х, р.))-
1. (4.6).
2i (а - и)
Эти равенства, как и приводимые ниже, понимаются в асимптотическом смысле
с точностью до 0(|р|-0°). В дальнейшем мы, как правило, не будет
оговаривать это явно. Участвующая в
(4.6) антидиагональная матрица IF(х, р) представляет собой
асимптотический ряд
W(x,p)= 2 + 0(1 Р Г) (4.7}
М"
п=х '
и удовлетворяет уравнению Риккати из § 1.4
^- + ilio3W-U0 + WU0W = 0, (4.8>
a U0(x) =фх(ф(л:)а+ + ф(л:)а-).
•192 гл- HI. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
Вспоминая явное выражение для матрицы U(х, К) из § 1, получаем, что левая
часть формулы (4.5) имеет вид
<№ 00, и (X, 4} = < с. - 5Ц) с_ ) (4.9)
•и в пределе при L-"-oо содержит интересующие нас вариацион-ные
производные--, _"'р. Сравнение формул (4.5), (4.9)
бф (г) бф (х)
и (4.6) показывает, что поведение этих вариационных производных при х->-
±оо определяется матрицей V{x, X, р) и, в конечном итоге, матрицей
И?'(лг, р.). Таким образом, мы приходим к задаче об определении пределов
матрицы W (х, р) при х->-±оо, р из
Г±(р)= lim W(x, р) (4.10)
*->¦(±00
для граничных условий конечной плотности. В терминах матрицы U0(x) эти
граничные условия имеют вид
lim U0(x) = U±, U+ = Qr1(Q)U_Q(Q), (4.11)
X-"±оо
аТС=уа1 (см. §1.8).
Существование пределов (4.10) непосредственно следует из выражения для
матриц Wn(x) в § 1.4. Для их вычисления перейдем в уравнении (4.8) к
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed