Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
пределу л:->-оо. Обозначая И7(р) = = Ц7_(р), получаем уравнение
- W^W + tpogll7 - - al = 0. (4.12)
2 2
Вводя диагональную матрицу X=Wau перепишем его в виде
(0
X* + tpo3X-y/ = 0, (4.13)
(4.14)
или
.Для диагональной матрицы X уравнение (4.14) имеет четыре решения.
Однако только одно из них совместно с асимптотиче-
ским разложением (4.7) для р из в силу равенства
k (Р) = р - 2 ДГ + 0 (U1 Г"). (4Л5)
Р
П=1
справедливого для таких р (см. § 1.10). Это решение имеет вид
X=l^~v) ст3, (4.16)
СО
§ 4. ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ 193
так что
И7_(|х)=?=*а2. (4.17)
СО
Для матрицы W7+(p) с помощью (4.11) отсюда сразу получаем
^+(p)=Q-'(e)^-(ii)Q(0)- (4.18)
Подставляя полученные выражения в формулу (4.6), убеждаемся, что
пределы матрицы V(х, X, р) при х->-±оо, р из
имеют вид
lim V (х,Х, р) = V± (X, р), (4.19)
Х~>±оо
где
V+ (X, р) = Q-1 (0) (X, р) Q (0), (4.20)
а
у a ) = *(0 + 4*)<T3 + 2"T)gi) (4.21)
2( (Я _ pt) (1 - Л2)
и введено обозначение ri= --k ^ . Отсюда получаем, что пре-
СО
делы правой части равенства (4,5) при x-^±oo имеют вид
= Пт [У(хД,р), y(JC,4] = fv±(^,p),:^- + Ll±l , (4.22)
х-*±сс 1_ 2i J
где
/J+(p) = Q-1(0)P.(p)Q(0), Р_( р) = -^-. (4.23)
2" (|0
Итак, мы показали, что в нашем случае существуют пределы
lim In ар (р) U (х, Я) j = Р± (р). (4.24)
X->±oo I. I )
Сравнивая это равенство с асимптотическим разложением (4.4), выражением
для вариационных производных
бТ7Т = ф(х)> 1Ш77 = ^ (4'25)
бф (х) бф (х)
(см. § 1.1) и с формулой (4.23), убеждаемся в справедливости соотношений
Нт Пт Д4уС = 0. (4.26)
X-+dz<X3 бф Д) *-4±ао бф (.г)
Таким образом, мы показали, что функционалы 7"iP, п>1, являются
допустимыми на фазовом пространстве Жр^. Соотношение (4.3) означает, что
они находятся в инволюции:
{Др, /".р}=0. (4.27)
194
ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
Поэтому в случае конечной плотности именно с этими функционалами
естественно связывать высшие уравнения НШ
= {Jn.,0, Ф}, -ду- = {Jn.p, Ф}. (4.28)
at at
Эти уравнения допускают представление нулевой кривизны с матрицами U(х,
X) и Vnfi(x, %), п> 1, которые определяются из асимптотического
разложения
V (х, X, ц) = х 2 Х) + 0 (I k (м) Г°°) (4-29)
для р из Кш. Оно получается переразложением асимптотического ряда (3.36)
по степеням &_,()-1) (сравни с аналогичной операцией в § 1.10). В
частности, V2iP(x, X) = V2{x, a), a V3(x, X) = = Vp(x, X), где матрица
Vp(x, X) была введена в § 1.2.
В этом параграфе мы еще раз убедились в полезности понятия r-матрицы. На
основании общего представления нулевой кривизны (3.3), доказанного в § 3
исходя из фундаментальных скобок Пуассона, мы смогли исследовать
локальные интегралы движения в случае конечной плотности и выделить из
них допустимые функционалы. В следующем параграфе будет дано еще одно
приложение основных формул из § 3.
§ 5. A-оператор и иерархия пуассоновых структур
В § 3 мы получили выражение для производящей функции V(х, X, р)
представления нулевой кривизны высших уравнений НШ. Здесь мы приведем
компактную запись этих уравнений и локальных интегралов движения /".
Гамильтонова интерпретация полученных формул естественно приводит к
семейству (иерархии) пуассоновых структур. Модель НШ и высшие уравнения
НШ оказываются гамильтоновыми по отношению к каждой из них. В качестве
соответствующих гамильтонианов при этом выступают все локальные интегралы
движения /". Ли-ал-гебраическую интерпретацию этих результатов мы отложим
до части II.
Как уже стало привычным, начнем с квазипериодического случая. Напомним
(см. § 3), что производящая функция V(x, X, р) для матриц Vn(x, X)
°° V" Гд-
V(x,X< u) = x 2 -Ат1 (5Л)
1-1 ^
имеет представление
'/ (х, Х,и)= - М(х, р), * (5.2)
2i (X - ц.)
§ 5. Л-ОПЕРАТОР И ИЕРАРХИЯ ПУАССОНОВЫХ СТРУКТУР 195
где
М (х, р) = (/ + W (х, и)) {I + w (х, р))-1 = ст3 + 2 -• (5-3)
п =1
Матрицы Мп(х) зависят только от функций ф(х), ф(л) и их производных в
точке х и имеют нулевой след.
Эти и последующие равенства понимаются в асимптотическом смысле с
точностью 0(|р|-о°), и впредь мы не будем это указывать явно.
Сравнивая формулы (5.1) - (5.3), получаем
Vn (х,Х) = Ц Vi + 2 Йн.. (х)) , (5.4)
V *=о J
так что п-е уравнение НШ определяется коэффициентамиМк(х), k^ti-1.
Формула (5.3) дает нам способ вычисления этих коэффициентов по
асимптотическому разложению матрицы W(х, р.), полученному в § 1.4 при
помощи уравнения Риккати. Здесь мы приведем более непосредственный способ
определения матриц Мп (х).
Для этого заметим, что матрица М(х, X) удовлетворяет дифференциальному
уравнению
-j- = [ U (х, X), М ], (5.5)
dx
где
U(x,X) = ^ + U oW, (5.6)
и условию квазипернодичности
М(.T + 2L. X) = Q_1(0)M(х, X)Q(8) (5.7)
(см. (3.24)).
Действительно, матрица М(х, X) имеет представление .И (х, /,) = i
ctgpL(X) I +---- T {x, - L,X)Q (0) T (L, x, X) (5.8)
1 sin pL (/,)
(cm. (3.16) и (3.29)), откуда, используя дифференциальные уравнения
(1.31) и (1.39) для матрицы перехода по первому н второму аргументам,
получаем (5.5).
