Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Я)(r)Д(у, Я-р))г(Я-р). При у- оо эта матрица имеет предел в смысле
обобщенных функций. Для его вычисления воспользуемся известной формулой
и явным видом матриц Е(у, Я) и г (Я). В результате для предельной матрицы
г_(Я-р)
г_(Я-р)= lim ? (у, р-Я) (r) Е (у, Я - р)г(Я - р) (6.6)
lim V. р. = + лг'ё (Я)
(6.5)
мы получим выражение
v. р. - 0 0
0
0
г_(К) = - % 0 0 -ш'б (Я)
0 nib (Я) 0
0
0
(6.7)
о
о
о
208 ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
Таким образом, имеем окончательное соотношение {Т_ (х, Я) (r) Т_ (х, р)} =
г (Я - р) Т_ (х, Я) (r) Т_ (х, р) -
- Т_ (х, Я) (r) Т_ (х, р) г_ (Я - р). (6.8)
Аналогичным образом получаем, что {Т+ (х, Я) (r) Т+ (х, р)} = Т+ (х, Я) (r)
Т+ (а, р) г+ (Я - р) -
_г(Я-р)7+(дг,Я)(r) Т+(х, р), (6.9)
где
г+ (Я - р) = lim Е (у, р - Я) (r) Е (у, Я - р) г (Я - р) (6.10)
У'-ЬЪОО
и матрица г+(Я) отличается от г_(Я) заменой i на -йИнаконец, на основании
свойства ультралокальности (см. § 1) имеем соотношение
{7'_(*Д)(r)7'+(*,р)} = 0. (6.11)
Скобки Пуассона приведенной матрицы монодромии вычисляются на основании
полученных формул. Так, умножая (6.8) на матрицу Е(-х, Я)(r)А(-х, р) слева,
переходя к пределу при х->- +оо и используя (6.10), получаем, что
{Т (Я) (r) Т (р)} - г+(Х - р) Г (Я) (r) Т (р) - Т (Я) (r) Г (р) г_ (Я - р).
(6.12)
Это соотношение играет основную роль, и мы его распишем подробнее через
матричные элементы. В силу явного вида матрицы Г (Я) 16 соотношений в
(6.12) являются следствиями 6 основных:
{а(Я), а(р)} = 0, (6.13)
{а(Я), а(р)} = 0, (6.14)
{а(Я), 6(р)} = ,-----а(Я)Мр), (6-15)
К - ц + г0
{а(Я), &(р)} = - У- а(}.)Ъ(р), (6.16)
А - ji- "т tu
{Ь(Я), Ь(р)} = 0, (6.17)
(Ь(Я), 5(р)} = 2лг|>с| |а(Я) |26(Я-р). (6.18)
Появление обобщенной функции -!- в этих формулах
Я + г'0
объясняется комбинированием v. р.- и л78(Я) по формулам
Я
§ 6. СКОБКИ ПУАССОНА КОЭФФИЦИЕНТОВ ПЕРЕХОДА 209
Сохоцкого - Племеля
XT7T = v-P-i=F"'-"(4- (6.19)
Подчеркнем, что формулы (6.13) - (6.18) согласованы с условием
аналитичности а (К) в верхней полуплоскости, так что первые четыре
соотношения допускают аналитическое продолжение по А.
Перейдем теперь к вычислению скобок Пуассона характеристик дискретного
спектра А,-, А,-, Ть /- 1" • • • > п- Из соотношений (6.13) и (6.14)
непосредственно следует, что
{a(A), Aj) = {а(А), А,} = 0 (6.20)
и
{A* АЛ = {А,, АЛ = 0, /, k= 1, ..., п. (6.21)
Для вычисления скобки Пуассона (А;-, Ь(р)} поступим следующим
образом. Рассмотрим формулу (6.15)
{a(A),&0i)}=-а(А)гф), (6.22)
А - ji-
где считается, что 1гпА>0, и представление
а (А) = 77 а (А). (6.23)
/=! Ь-Ч
Функция а (А) аналитична в верхней полуплоскости и уже не имеет нулей,
так что 1пй(А) является аналитической функцией при ImA>0. Подставим
теперь это представление в формулу (6.22) и перепишем ее в виде
{In а (А), Ь (ц)} = {In а (А), b (р)} +
" / (А,-, b (р)} (А,,6(р)} \ х
+ 2 1----------V:-г \=т^~ь^- (6-24>
Поскольку правая часть этого равенства аналитична при 1гпА> >0, то отсюда
получаем, что левая часть не имеет особенностей при A = Aj, так что
{&(р), АЛ = 0. (6.25)
Аналогичным образом, рассматривая скобку Пуассона {а(А), й(р)}, получаем,
что
{&(р)ДЛ = 0, /=1,...,п. (6.26)
Для вычисления оставшихся скобок Пуассона, в которых участвуют
коэффициенты Ть приходится использовать и более общие соотношения (6.8),
(6.9) и (6.11). Рассмотрим сначала наиболее интересную скобку Пуассона
{а(А), ^Л-
210
ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
Введем обозначения для компонент столбцов ТУ{х, к) и Т'-: (х, Я) решений
Йоста:
ТУ (х, к) = { f- (А'- У ) , Т(У (х, к) = f /+ <*¦ ) , (6.27)
\ g- (-<¦. И ) \ g+ (х, Я) J
которые аналитически продолжаются в верхнюю полуплоскость. Из соотношения
Т(к) = Т;1(х,к)Т_(х,к) (6.28)
получаем,что
а (к) = f_(x, k)g+(x, k)-f+(x, k)g-(x, к) (6.29)
(см. §1.5-1.6). В этих терминах формула (6.2) принимает вид
_ g~ д р)
yl= MfiiiL
М*. и)
(6.30)
ч=ь,
Подставим эти представления в (а(Я), 7,-}, взяв для например, первую
формулу в (6.30). Возникающие при этом скобки Пуассона вычисляются на
основании (6.8), (6.9) и (6.11) и имеют вид
{М*Д).М*,н)} = о, (6.31)
{/_(*Д)-М*. р)} = 0, (6.32)
{g± (X, к), (х, р)} = 0, (6.33)
{g±(x,k),f± (х р)} = + -Л_ (g±(x,k)f±(x,v)- g± (*, р )f±(x,k)),
А - и
(6.34)
откуда ясно, что они допускают аналитическое продолжение по
р, так что мы можем положить p = >vj. Собирая ненулевые вкла-
ды, получаем,что
(а(Я),у/} =
= ( ~ - ~(g+ (х, к) f+ (x,kf) - g+ (х, Xj) f+ (x, к)) -
h~Ki \ f\ (¦*¦> Xj)
(g- (x'f- ^ ~~ 8- (x' W ) =
f+ (X, A j) 1
= ^ _^_/+ {Xtk)f_{x>k)(
I-l. д_х. \f+(x.k,) fl(x.k,)
(6.35)
5 s. СКОБКИ ПУАССОНА КОЭФФИЦИЕНТОВ ПЕРЕХОДА
211
Второе слагаемое в этой формуле исчезает в силу (6.30) и, таким образом,
окончательно имеем
Отметим, что формулы (6.15), (6.16) и (6.36), (6.37) согласованы с
соотношениями
имеющими смысл только для финитных функций ф(х), ф(х). В этом случае Ь(Х)
допускает аналитическое продолжение на всю плоскость, а Ь*(Х)
аналитически продолжает функцию Ъ(Х)
