Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
d2 Ejjdrfa =PjEjc-ElcE2cE3cEf1. (10.7)
Система (10.7) имеет интеграл движения (гамильтониан)
Я= I KdEjJdrjc)2 -PiEU +IElcE2cE3c. (10.8)
J= і
Из условия уединенности волн (10.5) находим, что H = 0. Это позволяет получить из (10.8), полагая dEjJd~r}c = 0 при rjc = 0, связь амплитуд Ej0 в центре солитонов колоколообразной формы:
P1E210 +P2E220 +P3E230 =IE10E20E30. (10.9)
158 Последнее соотношение используется для контроля точности расчетов огибающих солитонов при численном решении (10.2) .
Среди связанных солитонов с колоколообразными профилями огибающих существует класс уединенных волн с одинаковыми параметрами Pj =P-
Eic = 1,5/7 sech2 (р1/2 t?c/2). (10.10)
Нетрудно убедиться, что амплитуды Eio удовлетворяют соотношению (10.9).
Если один из параметров много больше двух других, например р3 ^pj, Pi, то в уравнении для Е$с можно в первом приближении пренебречь второй производной, получая Е$с -Elc E2cIPi - Подставив это соотношение в другие два уравнения (10.7), находим два связанных уравнения
d2Elc __ ^ 1
' І С S
-PiElc - I E2c I2Ei
^vl • • Рэ
d'E„ 1 2 (ItU1>
-РгЕ2с - I EIc I E2c-
9т? с P з
При равенстве параметров Qj1 = р2) решение имеет простой вид
E1 с =E2c = (Ipi)iI2 P1 sech (рї*2 т?с),
, (10.12)
F3c = 2р\ sech2 (рУ2цс).
Видно, что солитоны на частотах W1 и W2 обладают более плавным профилем, чем на частоте .
Наконец, если два параметра велики по сравнению с третьим, р3 ^ P1, р2 > P1, то амплитуды связаны приближенными соотношениями
P2E220 ^P3E230, E10^(P2P3)1!2. (10.13)
Обратимся теперь к результатам численных расчетов огибающих солитонов. В [3, 4] на основе вариационного принципа доказано существование связанных трехчастотных солитонов, описываемых уравнениями (10.2), (10.7). Схема доказательства была затем положена в основу алгоритма численных расчетов структуры основных мод солитонов. В качестве примера на рис. 10.1 приведены профили огибающих солитонов, рассчитанные итерационным методом при различных параметрах р; [5, 6]. На рис. 10.1а показаны огибающие при частичном вырождении параметров, P1 = р2 = 1 и р3 - 9. Сравнение результатов с получаемыми по приближенным формулам (10.12) показывает хорошее соответствие данного случая модели (10.11). На рис. 10.16 параметры всех волн различны (вырождение снято). Этот случай близок, как можно убедиться, к ситуации (10.13).
При равенстве групповых скоростей (ис = и}) длительность солитонов (10.6) определяется б^лее простой формулой:
7C ~ (PxD1 +PiD2 - p3D3)lAk. (10.14)
І і
159 Ak=O
ьк<0
P1B1jTPzD2 P3S3
Рис. 10.1. Огибающие параметрически связанных солитонов :
а - вырожденное трехчастотное взаимодействие при P1 ~ Pt = 1, P3 ~ 9 (сплошные линии) и р3 = 0,5 (штриховые) ; б — невырожденное трехчастотное взаимодействие при P1 - 1, Pj = 9 и P3 = 16. Номера кривых на рисунках этой главы, если не указано противное, соответствуют значениям параметра J- 1,2, 3
Рис. 10.2. Зависимости длительностей солитонов от соотношения параметров Pj при различных расстройках волновых чисел вычисленных для линейной среды
Видно, что при выполнении фазового синхронизма (ДА = 0) длительность может иметь произвольную величину; но при этом параметры связаны соотношением
P3=(P1Di^p2D2)ID3. (10.15)
Например, если рі = р2 = р3, то должно выполняться Di +D2 = D3. Если же параметры pf- не подчиняются условию (10.15), то солитоны образуются только при отстройке от синхронизма (Ak Ф 0). На рис. 10.2 изображены зависимости длительностей солитонов (10.14) от параметра р3 при различных фазовых расстройках Ak.
§ 10.3. Специальные солитоны при групповых расстройках
Пусть теперь волновые пакеты имеют в линейном приближении разные групповые скорости и і Ф U2 Ф и3. Тогда скорость солитонов оказывается равной некоторой промежуточной величине. Среди солитонов, рождающихся при критическом синхронизме, особое место занимают специальные солитоны без фазовой модуляции. Для этого, как видно из (10.2), необходимо, чтобы параметр частотной модуляции dc = 0. При таком условии амплитуды солитонов становятся действительными величинами и из (10.2) вытекают прежние уравнения (10.7), исследованные в предыдущем параграфе.
160 Условие dc = 0 накладывает простую связь на сдвиги центральных солитонов
+ Sl2 = SL3,
(10.16)
где Slj заданы (10.4). При таких сдвигах частот устанавливается, как нетрудно проверить, групповой синхронизм между волновыми пакетами. Поэтому отличительной чертой специальных солитонов является их жесткая привязка к дисперсионным характеристикам среды Dj и Uj. Действительно, полагая в (10.4) dc = 0, находим выражение для групповой скорости специальных солитонов
«с ^
D{1 +D2"1 -Di1
(D1U1)'1 + (D2U2)'1 ~ (D3U3)
(10.17)
Она, как видно, не зависит от интенсивностей волн и нелинейности среды.
Если соотношения между Dj и Uj таковы, что скорость специальных солитонов стремится к нулю или к бесконечности, то, как показывают
ItfcI 5V
4,0 - \
\ J
/
T^J \
/ yS^o /N4 \
