Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
I I I і і і
-1,5
-0,5 О 0,5
1,5 ?с/тс
<*>г 0,4
і і і г і і і
-1,5 О 0,5 1J 9С/Тс
Рис. 10.3. Амплитудные и фазовые профили солитона при вырожденном взаимодействии с pj - 1 в условиях частотной расстройки при наличии относительной дисперсии первого порядка
11. А.П. Сухорукое 1 численные эксперименты, вместо специальных солитонов при захвате трех импульсов формируются фазово-моАудированные солитоны, чья скорость ближе к скоростям волновых пакетов Uj. На рис. 10.3 представлены амплитудные и фазовые профили связанных солитонов при неравном нулю частотном параметре dc.
Следует отметить, что специальные солитоны реализуют строгий минимум абсолютной величины интеграла движения J3 (1.53) среди солитонов, обладающих той же общей энергией и тем же распределением энергии между ними (выполняются соотношения Мэнли — Роу). Отклонение от специальных солитонов, в частности введение фазовой модуляции, увеличивает абсолютное значение \J3 |.
§ 10.4. Солитоны в отсутствие дисперсии одной из волн
В области перехода от аномальной дисперсии к нормальной по крайней мере один из коэффициентов дисперсии второго порядка обращается в нуль, например D3 = 0. В этом случае солитоны могут распростра-нятьвя только со скоростью волны с нулевой дисперсией, Т.е. Uc = U3. Очевидно, в этих условиях третье уравнение в системе (10.2) заменяется алгебраическим соотношением
^3C= ElcElcy (10.18)
причем изменения частоты и волнового числа волны с нулевой дисперсией определяются формулами
fi3 = ?2i + O2, q3 = qx + q2 - Ak, (10.19)
где для характеристик волн с дисперсией остаются в силе прежние выражения (10.3), (10.4). Однако запись амплитуд Aj с / =1,2 претерпевает изменения:
4 =^f (Не)*«*'4« "П (10.20)
\7з Ij 7C/
а для третьей волны запись остается прежней (см. (10,1) при / = 3).
Подставляя (10.18) в первые два уравнения (10.2), получаем систему двух уравнений (ср. с (10.11))
d2Elc |2 ~~2--Pi^Ic - 1 I Elc,
dric (10.21)
d2E2c 2
Т~2~ 'PlE2c - lUlc I E2c. dVc
Из (10.21) видно, что между волнами с дисперсией возникает своеобразное самовоздействие — кроссмодуляция. Нелинейные правые части в (10.21) аналогичны членам, описывающим кроссмодуляцию двух волн, распространяющихся в среде с кубичной нелинейностью.
162 В вырожденном случае (рх = р2, Eic =E2с) система (10.20) сводится к уравнению
?^E1Jdnl=PiElc -\Elc 12Elc, (10.22)
хорошо известному в теории солитонов и двумерных нелинейных волноводов. Оно имеет, в частности, односолитонное решение вида [5, 6]
E1 с =E2c= ^lpx sechoy2 Tjc), Еъс = 2р\ sech2 (P11/2 т?с). (10.23)
Примерно такой же структурой обладают связанные солитоны при большом значении параметра р3 (рис. 10.1а),
§ 10.S. Захват волн в связанные солитоны и волноводы
Многие свойства связанных солитонов, рассмотренные в предыдущих параграфах, характерны и для связанных волноводов. Необходимо иметь в виду, что в волноводах реактивное трехчастотное взаимодействие уравновешивает дифракцию и коэффициенты диффузии лучевых амплитуд Dj = -\\2kjвсегда положительны. Так как Dj > 0 и, следовательно, qj >0 тоже, в связанных волноводах наблюдается замедление волн (уменьшение фазовых скоростей). Этот эффект подобен замедлению волны в нелинейном волноводе, формирующемся в самофокусирующей среде [5, 6]. Замедление волн в связанных волноводах, таким образом, находится в единой концепции с взаимофокусировкой волн на квадратичной нелинейности .
Благодаря выполнению фазового синхронизма (кг « кх + к2) коэффициенты поперечной диффузии в (10.3) связаны в квазиизотропном приближении соотношением D31 = Dx1 + Dj1. Безусловно, это сужает разнообразие свойств нелинейных волноводов по сравнению с солитонами. Однако следует подчеркнуть, что при переходе к пучкам, как правило, повышается размерность задачи: вторая производная в уравнениях типа (10.2) заменяется лапласианом по координатам х и у или по координате г в осесимметричном случае. Для трехмерных пучков становятся несправедливы аналитические решения (10.10), (10.23), найденные для волновых пакетов. Поэтому для расчетов амплитудных и фазовых профилей связанных волновода привлекаются численные методы [7, 8]. Отметим также, что групповой синхронизм для пучков означает коллинеарность всех пучков. Специальные волноводы по аналогии со специальными солитонами возникают при неколлинеарном взаимодействии пучков и имеют плоские волновые фронты, наклоненные к оси волновода под разными углами для разных частот. В общем случае при рассогласовании направлений лучевых векторов связанные волноводы приобретают сложную форму волновых фронтов.
Перейдем теперь к обсуждению главной темы данного параграфа — проблеме формирования связанных солитонов и волноводов при падении на среду с квадратичной нелинейностью трех волн с разными частотами.
Подавление дифракционной расходимости пучков и дисперсионного расплывания пакетов в средах с квадратичной нелинейностью происходит при реактивном характере когерентного трехчастотного взаимодействия, когда нет существенной перекачки энергии между волнами. Захват волн в солитоны и волноводы означает ограничение снизу максимумов их амплитуд не зависящей от z константой (в противовес неограниченному уменьшению амплитуды невзаимодействующих волновых пучков или пакетов вследствие, соответственно, дифракционного или дисперсионного расплывания) . Поскольку невзаимодействующие волновые пакеты обладают интегралом 73 > 0 (Dj > 0), то отрицательность J3 означает захват импульсов в солитоны (пучки в волноводы).
