Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
Используя свойства интеграла движения J3 (1.53), можно установить нижнюю и верхнюю границы изменения максимумов амплитуд волн Mj = max I Aj I. Эти границы определяются следующими неравенствами (верхний и нижний знаки соответствуют положительным и отрицательным коэффициентам .Dy) [7,8]:
M1
р MfP I Di j J3 ) - - ' Jn > ¦ (10.24)
7 4 ту/?/* J1
Здесь р = 1 для импульсов и двумерных пучков, р-1 для цилиндрических пучков. Для простоты мы положили Ak = 0, ^3 = 0, ?j = 0.
Из анализа неравенства (10.24) видно, что достаточным условием взаимного захвата волны является положительность его правой части:
+ J3(J\> 0. (10.25)
Так как полный запас энергии J1 всегда положителен, то для осуществления режима захвата должно выполняться условие J3 < 0 в среде с Dj > 0 и J3 > 0 при Dj < 0.
Солитонное распространение гауссовых импульсов
Ej = Ej0 ехр (-12 It2 + iV/o)
наступает при условии
з
± 2 у/2 E10 E2Q E3 о cos Фо ^ S 6jEL, (10.26)
і= і
где
з
8j=\Dj |( Ъ Tj2^I2IyjTj, Ф0=Фзо -^io -<?го-
Видно, что наиболее благоприятным для захвата соотношением между фазами волн является Ф0 = пъ (п - 0, ± 1, ± 2,. ..). Нетрудно показать, что легче захватываются импульсы без частотной модуляции (dj = 0).
Аналогичные условия захвата в волновод имеют место и для гауссовых пучков.
На основе решения системы квазиоптических уравнений (1.55) были выполнены численные эксперименты по исследованию захвата импульсов в квадратично-нелинейной диспергирующей среде [7,8].
На рис. 10.4, 10.5 показаны последовательные этапы распространения трех волновых пакетов, имеющих на входе в среду одинаковые гауссовы амплитудные профили Ej = і?оЄхр(-г2/т2). Изображены нормированные профили интенсивности Ij, фазы связанных импульсов Фу и траекто-
164 показаны нормированные профили интенсивности Ij , фазы Фj и смещения центров импульсов (штрихпунктирные линии — линейная среда). Специальным солитоним с de = О соответствуют штриховые линии
рии движения их вершин ZIL Для сравнения приведены профили интенсивностей импульсов на том же расстоянии при их распространении в линейной среде. Из графиков видно, что общая групповая скорость захваченных импульсов близка к вычисленной по формуле (10.17) скорости специальных солитонов ыс (им соответствуют траектория и фазовые профили, отмеченные штриховыми линиями).
В общем случае при выполнении условия захвата (10.25) волновые пакеты пульсируют в процессе распространения, имея некоторую единую групповую скорость. На основе численных экспериментов можно сделать важный вывод о том, что групповая скорость и длительности импульсов, вошедших в режим захвата, близки к групповой скорости и длительности солитонов с теми же значениями интеграла J3 и интегралов Мэнли — Poy J3j (1.52) (в вырожденном по частоте случае — интеграла J3 и суммарной плотности энергии J1). Действительно, различным параметрам pj, dc в
165 уравнениях (10.2) соответствуют солитоны с разной структурой. При заданном законе дисперсии каждый набор параметров определяет групповую скорость и характерную длительность солитонов (10.6). В то же время солитоны с конкретными профилями обладают вполне определенными значениями интегралов Jx, J3 и . Таким образом, групповая скорость и длительность формирующихся волновых пакетов должны быть близки к групповой скорости и длительности солитонов с теми же значениями интегралов движения.
Следует отметить, что связь между групповой скоростью и длительностью солитонов с интегралами движения Jx, J3 не однозначна.
Пределы возможных изменений максимумов амплитуд волн (10.24) определяются интегралами Jxt J3 и значениями ряда параметров, входящих в укороченные уравнения (1.55). Ограниченность сверху и снизу этих изменений при выполнении условия захвата (10.25) позволяет в каком-то смысле говорить о глобальной устойчивости волноводов. При возмущениях, не нарушающих выполнения условия взаимного захвата волн, распада на невзаимодействующие волны не происходит, хотя профили волновых пакетов в общем случае не сохраняются.
Задача об устойчивости связанных солитонов и волноводов рассматривалась в [9] с помощью методики, развитой для исследования устой-
166 чивости волноводных каналов, возникающих при самофокусировке пучков [10]. В [7, 8] устойчивость солитонов анализировалась по критерию Ляпунова [11]. При этом в качестве функции Ляпунова был взят интеграл J3. Из теоремы Ляпунова следует, что специальные солитоны устойчивы по отношению к возмущениям произвольного вида, не меняющим энергии импульсов, в частности, по отношению к фазовым возмущениям.
В [12] рассмотрена параметрическая неустойчивость мощного пучка накачки при учете дифракции волн. Методом ВКБ показано, что пучок испытывает тенденцию распада на связанные волноводы (солитоны во временной задаче).
Рис. 10.6. Столкновение трехчастотных солитонов:
а — отталкивание, б — вторичный захват в пятичастотный солитон
167 Отметим также важное обстоятельство в проблеме устойчивости. Волновые пакеты могут испытывать неустойчивость по отношению к пространственным, а пучки — к временным возмущениям.
