Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
следовательно, и К¦ Наконец, используя симметрию матрицы Е~г и третье
равенство (12), нетрудно убедиться, что справедливо соотношение (?_1ИД-
1)Т = -R~1UE~1, т. е, NT ~ -= -дф Итак, для обратной матрицы справедливы
соотношения
Кт (от) = К (со), LT (со) = L (со), NT (w) = -М (со),
аналогичные (12). Это значит, что выполняется соотношение взаимности
eaepQp, а (<о) = Qa, р (и).
которое эквивалентно соотношению
<&i=Qi,2. • (20.14)
Использованное выше условие невырожденности матрицы R (условие
невырожденности Е вытекает из него и невырожденности (11))
непринципиально. От него можно избавиться изменением доказательства.
Скажем, в случае вырожденной матрицы R можно представить ее как предел
невырожденной матрицы и использовать для последней приведенное
рассмотрение.
Из (14) вытекает соотношение взаимности такого же вида
Z2B, i=Z,,2 (20.15)
для модифицированного импеданса.
3. Линейное ФДС (формула Найквиста). Обозначим через <%a(t) случайные
сторонние силы, возникающие в системе и вызывающие тепловые флуктуации.
Случайные внутренние параметры Ва определяются как неслучайными силами ha
(t), так и случайными силами &а (t). Соответствующая формула имеет вид
* В1 = Gl, 2 (/*2 "Ь <9?) "Г 1/гС?1, 23 (^2 "Ь &2) (Лз "Ь &>з) "Г
+ VuGi, 234 (}ц <S2) (h, -j- &':t) (hi -j- Sij )- • • • , (20.16)
аналогичный (16.4). Здесь Gb2...m-адмитансы, близкие K Gi, 2 ... m- Они
определяются из условия, чтобы после усреднения равенства (16) мы
получили (16.4).
201
В линейном приближении вместо (16) следует брать простое линейное
соотношение
= Gi, а (Аа+ "¦*)• (20.17)
Усредняя (17) и полагая - 0, находим
Ax = GxJi.2. (20.18)
Если сравнить (18) с равенством (16.4), взятым в линейном приближении, то
получим равенство
Gli2 = G1;2, (20.19)
справедливое в рамках линейного приближения.
Разрешая (17) относительно при учете (19) будем иметь
#i = -Ai-hQil2B2. (20.20)
Здесь согласно первому равенству (4) матрица Q,, , обратна G1; 2.
Обозначим через L12 коррелятор случайных сил:
Li2 = (glt &2)\ (20.21)
согласно (20) он равен 7-12 - Ql, 3Q2, 4 (Дч Т?4).
Подставим в правую часть соотношение (17.6). Это даег
7-12 = Qi, 3Q2,4 7ЙГ4 (G3,4 - G4, з) = iAr^Qi, 3Q2,4 (G3,4 - G4,3).
(20.22)
Но Q,, 3G3, 4 (а также Q4G4) п) есть единичная матрица (тождественный
оператор), поскольку Q1; 2 и Glt 2 взаимно обратны. Поэтому (22)
принимает вид
112 = -с'ЙГа (Qi. 2 - Q2. i)- (20.23)
Это и есть искомое линейное ФДС третьего рода. Учитывая формулу (7) и
(17.63), его можно записать также в форме
112 = ?702(7, ,2 + Z2il) (20.24)
или в симметризованном виде
ЫГ - (1,2 L2,)/2 = ?702 (Z,. 2 -f Z2,,).
В неквантовом пределе Н-* 0 оператор 0_ обращается в единицу и из (24)
вытекает формула 712 =- ?7 (Zlt 2 -[- Z2i 4) или, если учесть
(15), L12 = ?7 (Zb" + Z"i2). В спектральном представлении эта формула
имеет вид
(од, со2) == Z", y .(<в,, со2) ф BaC^Za, 7 (сд, со2). (20.2d)
Когда все параметры Ва имеют одинаковую временную четность, т. е. когда
еаер = 1, соотношение (25) можно записать так:
La3 (од, ш2) = 2?7 Re Za> р (од, о)3). (20.26)
Последняя формула получена Найквистом в 1928 г. [381. Это был первый
общий результат линейной неравновесной термодинамики.
202
Учитывая формулу
Za, р (coi, С02) = z;, Р (-toi) б ((О! + С02),
аналогичную (16.24), и вводя равенством
L"p (wi, со2) = sif ¦' (C0j) б (tOj + (02)
спектральную плотность si'jP (ю) флуктуаций силы <$а (/), формулу
Найквиста (26) можно записать также в эквивалентной форме
sif}((o) = 2/jrReZ;, р(ш). (20.27)
Если вернуться к квантовому варианту, то вместо (27) будет справедлива
формула
ДщР (со) = 2kTQ (ico) Re Za, p (w) = ftw cth (ftto/2feT) Re Za, p (io),
/ 9P\
причем S"p (со) определена равенством
( 5P\
y2 [Lap ((Ob C02) -f Lpa (ю2, COi)] = S"p (C0l) 6 (a>i -f C02).
4. Корреляторы случайных сил в нелинейном случае. Их связь с функциями
G... . В нелинейном случае, кроме (16.4), имеют место равенства
(Въ В,2) G12 -|- G12) 3L3 V2G12, 34^3^4
(Вг, В2, В3) = G123 -)- Gi23, 4/г4 (20.28)
(Bi, B2, B3, Д4) = G1234
Входящие сюда функции G12, G123, G12i 3 и другие связаны с адмитансами
G4> 2, Gb 23, ... флуктуационно-диссипациснными соотношениями второго
рода.
Введем корреляторы случайных сил <%х и по аналогии с (16.4) и (28)
представим их в форме разложения по неслучайным внешним силам:
{$ 1) = L4 -j- L4) 2/i2 -]- V2L1,23h2h3 VeLx, 2,34L2L3L4
(#1. ^2) = L12 -R L12j 3/j3 -j- V2L12, 34^3^4 -f- • • • , (#1. <^2 $4) =
Li23 -f- L123) 4/j4 -j- • • • >
(ffl. &2> #3. ^4) = Ll234 4" • • •
(20.29)
Определяемые этими равенствами функции L... можно связать с функциями
G... . Дляэтого разрешим равенство (16) относительно <$2. Будем иметь
- hi 4" Ql, 2^2 V2Ql, 2'>В2В3 - 4 '/(iQl,234^2 Дз^4 -|- • • •
(20.30)
Входящие сюда импедансы Qi, 2... m связаны с адмитансами Gb 2... m теми
же самыми формулами типа (4), какими импедансы Q]|2.,.m связаны с
исходными адмитансами G1>2...т.
203
Усредняя равенства (30) при учете (16.4), (28) и (29), будем иметь 7-1 У
