Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Это означает, что в линейном приближении правило простейшего включения
внешних сил подтверждается.
Переходя к квадратичному случаю, видим, что равенство (54) позволяет,
кроме (d2Qa/dxр дхА0, независимо задать (d^QJdxр dhy)0. После этого
матрица (d2Q Jdh$ dhv)0 будет однозначно определена. Обозначая
'"* = (l^).+ (^).. ('9.55)
согласно (54) будем иметь
/ d2Qa \ / d2Qa \
\ dhfidhy )0~\дхрдху )0 m"vP-
Этим равенствам соответствует функция
Qa (х, h) = (щ^)о (ха - ftp) + у( ДЙ?-)0(*р - h) (xv ~ Ю +
+ (АГр - Ap) ftv. (19.56)
Отсюда видно, что ненулевые значения элементов матрицы таpv символизируют
отклонение от правила простейшего включения внешних сил в линейно-
квадратичном приближении. Ниже будет показано, что условие
непротиворечивости марковских ФДС и общих ФДС второго рода приводит к
дополнительному равенству
та pv = 8aepevmpav, (19.57)
или в силу (55)
/ d2Qa \ . / д2Яа \ _ Г/ d2QP \ , / g2QP \
V dxpdhy j0+ \ дх$ дху /" eaePev |Д dxadhy /0 \ дхадху /0
. (19.58)
Последние равенства вместе с (53) и (54) и представляют собой необходимые
условия, накладываемые на способ включения внешних сил.
196
Перейдем к доказательству равенства (57). Благодаря члену с таPv в (56) в
формулах (21), (24) и (25) появится дополнительный член. Так, вместо (25)
будем иметь
Ai - (/7, + Фг) 1 [... + гпцз (А2 ha) h3],
где введено обозначение т12Э -- та,а2а3^ (Д /3). Точками здесь обозначены
прежние члены, присутствовавшие в (25). Далее в (26) в правой части
появится дополнительный член 7\т1гз (7ТФ." - 1) h2h3, в связи с чем
вместо (29) получим равенство
Gl, 23 = ••• 4 "Д Iml23 (Go 1) + /^132 (G3 ' 1)1 =
= ... + Т1(р2т123Т" + p3tn13iT3). (19.59)
Здесь и в дальнейшем точками, как и раньше, обозначены прежние члены.
Подставляя (59) в (17.47), вместо равенства (46), взятого в неквантовом
варианте,будем иметь
Gl23 = Ь (kT)" Р]23 (РзТ\ГП\2ъТ2 - В1?2^РзТ2П1\2ъГl)>
или, если перегруппировать члены,
Gi23= • • • + Wf Р\2яРгТ\ (trim - 81е2е3т21з) Т% (19.60)
Поправка к коррелятору G123, обусловленная членами с тш, должна равняться
нулю, поскольку этот коррелятор вполне однозначно определяется
марковскими ФДС, совпадающими с (20), (43), (51). Следовательно,
выражение, выписанное в (60), должно равняться нулю. Взяв его в
спектральном представлении и учитывая (27), получим равенство
Р123СО31 (f'CDi/i + Д)'1 (-t'C02/2 + Д)-1 (maia2a3 ~ tafiafia3tna2aia3) =
0,
(19.61)
которое обязано выполняться при любых со1; со2, со3. Здесь D =
= - I Ах,рI или D = -||/ai7"vPj| = [|dBp||, если матрица иу& не равна
единичной. Чтобы (61) выполнялось при со3 0, необходима справедливость
равенства
Р12 (rnh -f Д)'1 (-гсо2/2 + Д)'1 (maia2a3 - 2tta3ma2aia3) = 0.
(19.62)
Умножая (62) матрично (слева) на -ш1/1 + Д и -iсо2/2 + D2 и дифференцируя
полученное равенство по cot или со2, получим формулу (57).
Из (57) вытекает, что для одного нечетного по времени параметра Д матрица
т обращается в нуль и справедливо правило простейшего включения сил. В
многокомпонентном случае при наличии параметров, нечетных по времени,
часть элементов матрицы таPv обязана равняться нулю, а другая не обязана.
Это, однако, не исключает возможности того, что во многих случаях т"рт -
0 при всех а, Р, у.
197
Отметим, что из равенства выражений типа (40) и (41) нельзя извлечь новых
равенств для maPv, так как при отказе от гипотезы простейшего включения
сил в стохастическое представление (38) приходится добавить член вида ?
После этого прирав-
с
нивание выражений типа (40) и (41) указывает лишь, как сумма ? (#н,з Kl?
+ Лил KiV) выражается через та/}у.
О
Условия (54) и (58) были получены в [66] (см. также [64]).
§ 20. Линейные и квадратичные ФДС третьего рода
1. Определение импедансов. Возникновение флуктуаций внутренних
термодинамических параметров Ва (t) и соответствующих потоков Jл = Ва
можно объяснить тем, что в различных элементах рассматриваемой физической
системы возникают случайные силы, термодинамически сопряженные с Ва.
Между статистическими характеристиками этих случайных сил и импедансами,
характеризующими систему, имеются универсальные соотношения, которые мы
называем ФДС третьего рода.
Приступая к определению импедансов, обратимся к формуле
(16.4). Она указывает, как средние параметры Аа - (Ва) выражаются через
внешние силы h. Обратную зависимость запишем в виде
= Cl, 2^2 "Ь 23А2А3 "Ь 1leQl, 234^2^3^4 _Ь ''' (20.1)
Это равенство служит определением импедансов Qi,2 т- Чтобы
найти, как импедансы выражаются через адмитансы (16.3), следует разрешать
уравнение (16.4) итерациями относительно йх. Из (16.4) имеем
G2, 3^3 = Ао - V2G2, 34^3^4 L/oCf2, 345^3^4^5 ' ' ' (20.2)
Введем Qii2 как матрицу, обратную Gi,2 (предполагаем, что G7,12
существует). Это значит, что должно выполняться равенство Qi, 2G-i, ah-л
~ Подействовав на обе части равенства (2) оператором Qb 2> будем поэтому
иметь
hi - Qb 2^2 - V2Q1, 2^2, 34^3^4 VeQl, 2^2, 345^3^4^5 ' ' ' (20.3)
Подставим в правую часть в качестве h3, /г4, ... выражение типа (3), а
