Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
У "г 1-1, 2^2 У VaG], 23^2^3 -)-•¦• =
- Qi, 2 (G2, .-At¦ Ь V2G2,34A3A4 - Ь • • •) У У V2Q1 , 23 (G2,
.(?463,5/г5 -]- G23 -|- G23, 4/z4 У V2G23,45/24/25 У • • •) У
У VeQl, 234 (G234 У G234, 5/25 У • • ¦) У
Выделяя члены, имеющие различные порядки по /г, отсюда получаем
7-1 - V2Ql, 23G23 "j- VeQi, 234G234 У ¦ ¦ ¦ >
У r Т-i, 2/;2 = Qi, 2G2,3/23 L V2Q1,23G23,4А4 У .
(^U.o 1 j
У VeQl, 234^234, 5А5 -|- • ¦ • ,
7-1,45 - Ql, 2G2, 45 У Ql, 23G2, 4G3, 5 У V2Ql, 23G23, 45 Г ' ' '
Первое из этих равенств следует использовать для определения Т-j, второе
-для определения Qb 2. третье -для определения Qb 23 и т. п. При этом
также нужно учитывать равенства, приводимые в дальнейшем. Определение Qlt
2, Qi, 23 следует производить последовательными приближениями, начиная со
следующих значений нулевого приближения:
Ql, 2=Ql,2> Ql, 23 == Ql, 23, Ql, 234 - Ql, 234- (20.32)
Теперь используем (30) для отыскания коррелятора (<У4, <У>). Имеем
(<У 1, <У2) = Qi, sQ2, 4 (В3,В4) у VaQi, 3Q2,45 (Дз, В4ВЬ) у
yV2Qi,зАь(В3В4, Дв)У ••• (20.33)
(причем (В3. В4ВЬ) - (В3, В\) (Въ) У {В3, Щ) (В4) У ...). Здесь точки
обозначают прочие члены, которые дают относительно малый вклад порядка
(?Т)2 и выше (при подобных оценках полагаем, что /ш ~ kT). Используя
(16.4) и (28), отсюда получаем
(<§ 1, Д2) - Qi, 3Q2,4 (G34 -у G34,5/г5 У • • •) у
У V2Ql, 3Q2, 45 (G34G5, в У G:sG ь в) /2в -р
У-V2Q1,34Q2,5 (GhsGijB У G46G3,6)/2в у • • • (20.34)
Сравнивая (34) с (29), в приближении (32) будем иметь
7-1.2 = Ql, 3Q2, 4Gs4' 7i2, в = Qi, 3Q2,4G34, о У Qi, 3Q2,45G34Q5, в У
Qi, 34Q2,5G35G4, в (20.35) ^использована симметрия Q2) 45 = Q2, 54)-204
Теперь перейдем к тройному коррелятору (&л, <%я). При
его вычислении будем учитывать члены порядка (kT)'2 и отбрасывать члены
более высокого порядка. Кроме того, можно положить h (t) = 0. Применяя
правила вычисления коррелятора, указанные в п. 1.2, получаем
(7?i, <?ч, = Въ, 4-
+l/2Qi,47Q2,5Q3,e"fi1. В6)(%. яв) + <я7, въ,)(вА, 5в)) +
~г Qi, 1Q2,57Q3, в (т?4, В5) (В7, Be) У Qi, 4Q2,5Q3, в- {Вц, ве) (въ, в7)
-- • • ¦
Учитывая (28) и (29), в приближении (32) отсюда получаем 7,123 = Ql, 1Q2,
5Q3, 6^156 "f Ql, 47Q2, 5Q3, 6^45^76 У
+ Ql, 4Q2, 57Q3, 6^45^76 "К Ql, 4Q2, 5Q3, 67^48^57- (20.36)
Относительная погрешность последнего выражения такая же, как
и равенства (35). Она равна kT.
5. Формулы для Z,i2,3> ^i23' Входящие в (35) и (36) функции G34,
Q34,5, Q456 выражаются через адмитансы при помощи найденных ранее формул
(17.6), (17.44), (17.59). Подставляя (17.6) и (17.59) во вторую формулу
(35), будем иметь
7,12,6 = ifi {Qi, 3Q2, 4 [Г4О3,46 У ГзС4_ зб - (Гз у Г4) Об, з-i] -
-Qi,з Г3 (G3, 4 - 04, 3) Q2, 45G5, 6 -+- Q2.5 Г5 (G3, 5 - Gs, 3) Qi,
34G4iб),
Если использовать ту же самую сокращенную запись, что и в (8), то
последнее равенство примет вид
7.12, з = 7й {Q1Q2 [Г2Gi, 23 У Г1С2, 13 - (Г, -j- Г2) G3> 21] -
-r^Q, (Gi - Gl) Q2, ,3G3 У r2Q2 (Gl - G2) Qi, 23G3}- (20.37)
Учтем теперь, что согласно (4) и (8)
QG - 1, G1>23 = -G,G5G3Qi,23- (20.38)
Произведя операцию временного сопряжения, в силу равенства GB - GT,
эквивалентного'1 (17.31), имеем
Gf, гз = - [G1G2G3Q1,23]в = -G(r) (G2)t (G3) QT, 23 =
= GlG2G3Qr, гз- (20.39)
Используя (38) и (39), из (37) будем иметь
7.12, з - 7й {-r2Q2G2Qi, 23 - Г, Q1G1Q2,1з (Г 1 -f- Г2) Q3,21 - - ГГ(1 -
QiGO Q2,13 У Г2 (Q2G2 - l) Qi, 23) Оз-После сокращений отсюда получаем
7-12. з = -ih (r2'Qi, гз У Г0?2, ,з - (Г, + Г2) QI г,) G3- (20.40)
205
Перейдем теперь к формуле (36). Подставляя в нее (17.6) и (17.44), найдем
7.123 = -й2 {Q1Q2Q3 [Г2Г3 (Gi, 23 Gi, 23) -(- Г] Г3 (G2, 13 -(- G|, 13) +
+ Г1 Г2 (G3, 12 -(- G3, 12)] + Г2Г3 Q2 (G2 - G2) Q3 (G3 - G3) Ql, 23 +
+ ГГГз-Qi (GI - G,) Q3 (G3T - G3) Q2,13 +
+ iYltQ, (GI - G,)Q2 (Gl - G2) Q3.12)
Выразим здесь G1)23 через Q 1)23, учитывая (38) и (39). После сокращений
будем иметь
7.123 = -Й2 {-Г2ТзХ,01,2з - rIr3-X2Q2D, ,3 - ГГГ2+адв 12 +
+ Г2Г3 (1 - Х2 - Х3) Qi, 23 + Г(Т3 (1 - Х\ - Хз) Q2, 13 -г
1 -rfr2+(l -X, -A-2)Q3l,2}, (20.41)
где обозначено
X = QGT, т. е. Х12 - Q13G,3. (20.42)
Входящая в (41) матрица (42) является несколько странной. Она не входила
в соотношения, полученные в § 17. Ввиду присутствия этой матрицы можно
сделать вывод, чго равенство (41) нельзя считать окончательным
флуктуационно-диссипационным соотношением.
6. Стохастическое представление случайных сил и функции Q... .
В линейно-квадратичном приближении следует взять такое стохастическое
представление случайных сил
#1 = М1 + 2 [Si(2)^0) + Si(2^g)B3], (20.43)
G
где Мг не зависит от времени Q; есть статистически независимые друг от
друга случайные функции (операторные в квантовом случае) с нулевым
средним значением и корреляторами
/е(о) р(а)\ г,(ч) /ща) -(а) ЩаД D(a)
\5l > 52 / - А12 > \Sl > 62 > S3 / = А123 >
/е(о) ?(а) s(a) f(a)\ D(a) (2U.44)
\6l >62 >63 >54 / = Д1234>- • •
Все перекрестные корреляторы вследствие независимости полагаются равными
нулю. В (43) 5^>, -некоторые функции.
