Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
О
будем иметь
Ql2, 2,4 - J1234 + ^2134 "f" -^1234 ~\- К\243* (21.17)
Далее, используя (14) для вычисления корреляторов (<§Г1т <§Г2, &3)в =
" Ql23, 4^4> (^1j $2> $3" $4)в ~ Ql234> ПОЛуЧавМ
Г) _____ У1 / o(G) р(а) J_ с(°) n(ff) _[_ е(°) p(ff) ^
4123,4- Zj W154A523 Т~ *->254 A153 i~^354A125/>
(21.18)
Ql234 = ? ^?1234* a
214
Полезно ввести такие обозначения:
Ql 23, 4 = ? -S154 523 5 Ql23, 4 = ? Sl54-/?253"
cr a
n++ V с(°)n(a) (21.19)
V123, 4 - Zj J154A235' cr
При этом первое равенство (18) имеет вид
Ql23, 4 = Q123, 4 Q213, 4 "Ь <?312, 4 • (21 .20)
Теперь будем считать, что функции Ва (t) не являются независимыми, а
связаны с равенством
В4 = Gi, о (h2 -р <%2) --j- 1l(jGi, 234 (hi ~г ^г) (th ~\~ з) (hi +
#4), (21.21)
которое эквивалентно (4). Подставляя (21) в (14), получим
#1 = 2 ll\a) + (h + <Гз) +
а
+ 1/25i(2,)34^2Cr>G3G4 (/гз - h &ъ) (h <Г4) f • • • ]• (21.22)
Итерациями правую часть (22) можно выразить через hi и ^{а):
(9 1 - <J\ + ? (/гз ] о3) -)-
О
+ ? 5,(ЙУа)0з5^^т)05 (Л5 + os) +
т
+ 1/25i(2.)34^a)G3G4 (/гз + ст3) (Л4 + а4)], (21.23)
где для' краткости обозначено oi = 2 ?i<T). Члены третьей степени
X
и выше по /г, а также четвертой степени и выше по ? опущены. Используя
(23) и (20.44), можно вычислить корреляторы (8Х, <?Г2), (&л, $2, ^з). {&ъ
&ЗУ (оi) и тем самым найти (т. е. выразить через Q...) четырехиндексные
функции L..., входящие в (20.29). При этом нужно помнить, что L12j34
следует находить, учитывая члены порядка kT, L123, 4 -учитывая члены
порядка (kT)2, a L1234 - члены О ((kT)3). Суммы типа (20.52) и сумма ?
/?123 исчезают
а
в силу (1) и (20.57). Поэтому член в (23), содержащий не
влияет на искомые функции L... в рассматриваемом приближении.
Для вычисления Ln, 34 в (23) достаточно взять лишь линейные по | члены.
Учитывая (15), получаем
/-12,34 = Q12,34Q3G4. (21.24)
Для вычисления L123, 4 в (23) опускаем члены, квадратичные по /г и
кубические по ?. Принимая во внимание (16)-(18) и равенство ? /?12} =
Q12, находим
О
Тт. 4 = (Q123,4 + Q 12,54 GoQ53 Q13,54G5Q52 +
т Q31,54G5Q25 г Q23, siQiQis) Gi, (21.25)
215
где
Ql2, 34 = 1234 + Лш4, Qn, 34 = "7*234 + ^2143. (21.26)
так ЧТО Qi2i 34 = <3(2, 34 + @21, 34-
Наконец, для вычисления (8Ъ 82, 8г, 8ц) = 7-1234 в (23) следует положить
h = 0. После выкладок, которые мы опускаем, учитывая (16), (17), (19),
(20), будем иметь
7-1234 = Ql234 + Ql23, 5G5Q54 + (<3l24, 5 + Q214, 5) G5Q53 -|- Q412,
5G5Q35 +
"Ь Ql34, 5G0Q52 + (<Эз14, 5 + Qt13, б) G5Q25 + @234, 5G5Q15 "Ь
+ @12, 56^5^53^6^64 + (Ql3, 56G5Q52 -j- ^31,56^5^25) GeQet +
- J1456G5Q52G6Q63 + JimGbQ2bGbQ36 ~r Г 7Cl46eG5Q52GeQ36 +
7Cl465G5Q.25GUQ63 + Qi:), 56G5Q15GeQe4 '
+ (Q24, 56G5Q53 + Qi2, 56G5Q35) GeQl6 + Q34, 56G5Ql5G6Q26- (21.27)
4. Соотношения для диссипационно-определяемых частей функций Q
Четырехиндексные функции Т.... согласно (10) представляются суммой двух
частей L\и L[2]. Аналогичным образом в виде суммы типа Q - Q(!) + Q(2)
представим функции Q12,34, "7(234,
А1234, <3(2.34, <3i23,4, <3(23:4 <3i234- При этом потребуем, чтобы
равенства (17), (20), (26), (27) выполнялись отдельно как для слагаемых,
помеченных индексом (1), так и для слагаемых, помеченных ИНДеКСОМ (2):
Определим фуНКЦИИ <3!2!з4> @123,4, Q1234 из того
условия, чтобы ОНИ были связаны С 7-12?34, 7-123.4, 7-1234 теми
же самыми равенствами (24), (25), (27), какими Qi2, 34, Q123, 4, Q1234
связаны с 7-42,34, Т-12з, 4, 7-4234.
Отсюда следует, что для вторых слагаемых справедливы точно такие же
равенства. Итак, будем иметь
7-{^ 34 = <3i2? 34G3G4, (2128)
7-123,4 = (Qm, 4 @1^!54G5Q53 -|- QuJmGsQs:
+ Сзп 54G5Q25 + Qz), 54G5Q15) G4, j - 1, 2,
и аналогично для (27). Приравнивая первое равенство (11) и (28) (при j =
1), получаем
Q12! 34 = Q1Q2Q3Q4G12! 34 + Q1G15Q2, 534 + Q2G52Q1, 534-
Подставим сюда (18.36) и (17.6), а также учтем второе равенство (3),
точнее, равенство
Gl. 234 = -G1G2G3G4Q1, 234- (21.29)
В результате получим
Q12! 34 = - ifi (r2Qi, 234 + ГГфг, 134)- (21.30)
Видим, что Q12! 34 выражается через импеданс Qi , 234 и поэтому является
диссипационно-определяемой частью функции Q13i 34.
216
Аналогичным образом, приравнивая выражения во вторых равенствах (11) и
(28) (при / = 1), можно найти Qia. i. Подставляя (18.26) и, наряду с
(29), используя равенство Gf, 234 = -GJG2G3G&, 234" а также (30), после
сокращений получаем соотношение
Q123,4 = й [Г2 Гз Qi, 234 -j- Г^ГзСЗг, 134 -|- Г^ГгСз, 124 +
+ (Г2Г3- + ГГГз 4- ГГГ2+) Ql ml (21.31)
если положить
Qr2,(34 = 234 (21.32)
(в противном случае в соотношение (31) вошел бы "странный" оператор
(20.42)).
Наконец, обратимся к равенству (27), записанному для четырех-индексных
функций, помеченных верхним индексом (1). Приравнивая выражение в правой
части выражению, стоящему в (12), можно вычислить Q1234. При этом следует
использовать (18.18), уже найденные соотношения (30)-(32), а также
(16.74). В результате после многочисленных сокращений найдем
Q}'>4 = in3 [Г2Г3Т7 (<?,, 234 - Ql 234) +
