Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Это и есть второе квадратичное ФДС. Мы видим, что полученные соотношения
(50), (58) имеют такую же структуру, что и соотношения второго рода
(17.6), (17.44), (17.59), но в них в правую часть вместо адмитансов
входят импедансы. Функция (58), как видим, инвариантна относительно
временного сопряжения подобно коррелятору G123.
8. Определение Lx и Q3. К квадратичным соотношениям относится также
формула, выражающая QL через импедансы или адмитансы. Выведем ее. Для
этого воспользуемся первым равенством (31/ в приближении (32). Учитывая
член порядка кТ и отбрасывая члены более высокого порядка, будем иметь
Li = 1 2Q1.23G.33 (20.59)
или, если подставить (17.6),
L, = VatftQi, 23Г3- (G2,3 - G3,2). (20.60)
Используя симметрию Gb 23 - Gu 32, а также (16.72), последнее равенство
можно привести к виду
к\ - 1/JkQt, 23 (Г2 - Гз) G3,2 = 1/sifiQi, 23 (Г2 + Г2) G3,2- (20.61)
С другой стороны, в силу первого равенства (29), взятого при h - 0,
значение L± с той же точностью можно получить усреднением выражения (51).
Это дает
и = м, + И S\Usia)R^G3,4 = Afj + 2 SM°!'RlVG3, о.
а ст
209
Учитывая (52) и (57), отсюда получаем
L\ = Mi + Qio, 3G3,2 = Mi - ih [Г2 (Qi, 23 - Q3,12)] 63,2-
Перенося оператор Гг направо и пользуясь формулой Г" (р)т -¦ = Г" (-р) =
-Г+ (р), будем иметь
Li = Mi -)- ih (Qi, 2з - Q3,12) ГгДз, (20.62)
Если сопоставить (62) с (61), получим
Q, = Mi = ih (- V2Qi, 23 + Ql 12Г2) G3.2, (20.63)
где учтено (46). Перейдем or Qi, 2з, G3, 2 к модифицированным функциям
Zlt 23, Yз, 2. Учитывая, что Qx, 23 = Z123p2p3, psG3,2 = Y3i2 согласно
(16.7), (6), из (63) получаем
Ql = -1/zlhZi' 23P>Y3, 2 + kTZ3, ,202>lG3, 2, (20.64)
где 02 = Ш$р2Т2. Перенося во втором члене в правой части (64) оператор р1
= d/dty налево по правилу (7), выпишем этот второй член более подробно:
kTZ3, 12O2P1G3, 2 = - kT j ?o.fia.fia.Za3, a2a, ("Дз! -ti, -0) X
X [02+G"3, "2 (t3, t2)] dt2 dt3. (20.65)
Если стоящий в (65) интеграл сходится, то, поскольку Z3, 12, G3,2 зависят
лишь от разности времени t3 - С, t3 - tly он является просто числом,
которое к тому же в неквантовом случае равно нулю в силу закона
причинности. Дифференцирование интеграла по ty дает нуль, и поэтому член
(65) исчезает. Следовательно, (64) принимает вид
Qi - 1/ithQlt o3G3,2 = 1l2t^Z1)i3p2Y3<2- (20.66)
В неквантовом случае эта величина равна нулю:
Qx = Му = 0. (20.67)
В квантовом случае она не равна нулю. Это объясняется тем, что при Му = 0
усреднение выражения (51) давало бы не действительную величину; Му делает
из этого комплексного среднего действительную величину. Если бы вместо
(43) мы взяли эрмитово выражение
й-i = Л4, + ? S|e)Sle) + Va ? S,(2 [&°\ В3]+,
О о
то Му - Qt равнялось бы нулю и в квантовом случае.
Для вывода соотношений, более точных, чем (50)г (58), (66), приближение
(32) является недостаточным. Чтобы вычислить значения Qx, 2... точнее,
следует использовать равенство типа (48) (но более точное) для вычисления
функций Llt 2, Llt 23, ..., определяемых первым равенством (29), а затем
использовать второе, третье и т. д. равенства из (31).
210
9. Другая форма записи ФДС третьего рода. Вместо равенств (45) можно
взять эквивалентные равенства
(<8 1, 82)у = Z12 -(- Z12> 3/3 4- V2Z10, 34^3^4 -(- • • • ,
Л Л Л (JU.bo)
(8 1, &2' S's)j = Z123 -|- Z123> 4У4 -f- • • • ,
(S' 1, 82, 83, 8b)j = Z12,34 -{- • • •
Корреляторы в правых частях равенств вычисляются при фиксированных
потоках /"(•). Поскольку J1=--^B1, фиксация потоков эквивалентна фиксации
В1. Равенства (68) определяют функции Z... Они просто связаны с функциями
Q... Подставляя Jx -- рхВх в (68) и сравнивая эти равенства с (45), будем
иметь
= Ql, Z12 = 012, Z12g = Qi23, Z1234 = Ql234>
Zl2,3 =Ql2,3^31, Zi23,4 =Ql23, 4P4*> (20.69)
Zl2,34 = Ql2,34 Рз lpi '" • • •
Учитывая эти равенства, а также (6), (7), ФДС (50), (58), можно записать
Zl2 = kT(c)2 (Zi,2 -(- Z2,l),
Zl2, 3 = kT [(c)2Zl,23 -f- 0^2,13 - (/?102 /?2(r)l) />3^3,12 ]>
(20.70)
Zl23 = - (kT)2 [02 03 (Zj,23 + Z°23 ) +
+ 0*03 (Z2, i3 + Zf.is) + 0f02 (Z3ii2 + Z3Bil2)].
Здесь, как и в п. 17.7, 0± = 1ЩрТ±, 0 = ?/г|5рГ. В неквантовом пределе
0±, 0 переходят в единицу, и мы имеем неквантовые соотношения
Zi2 = kT (Zli2 -f- Z2;1),
Zi2,3 = kT [Z,, 23 + Z2,i3 + Z3B.,2], (20.71)
Z123 = - (kT)2 P(123) (Zl ,23 + Z(r),23)-
Структура формул (70) такая же, что и ФДС второго рода (17.62),
(17.65) и (17.66).
§ 21. Кубические ФДС третьего рода
1. Связь четырехиндексных функций L... с функциями ??....
Перейдем к рассмотрению' кубических соотношений третьего рода,
т. е. соотношений, связывающих четырехиндексные функции Э4,
Q123,4, Qi234, определяемые равенствами (20.45), и импеданс Qlt 234. Для
упрощения выкладок будем считать, что квадратичная нелинейность равна
нулю, т. е. что
С1>23 = 0. (21.1)
211
При этом вместо (16.4) и (20.28) имеем равенства (В4) ~ Gi)2/l2 +
VtiGi,234/z2/l3/z4,
(В4, В2) = 0,2 V2Gi2l34A3A4, (21.2)
(В4, В), В?) == Gi23,4^4> (Bi, В2, В3, В4) = Gi234.
