Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Выражение (43) следует рассматривать в комбинации с равенством (16).
Поэтому между В3 и ?(а> устанавливаются корреляции. Если, однако,
рассматривать равенство (43) как самостоятельное до того, как оно
подставлено в (16), то функции В3 в (43) можно рассматривать как
независимые переменные. Зафиксировав их, введем функции Q... равенствами
l)s = Ql, {<? 1> &2)в - Ql2 "Ь Ql2, 3В3 + V2Q12, зААь + • • ¦ ,
фъ &2, &з)в = Q123 + Q123, Аг + • • •, (20.45)
(S? 1> $2> "з, &4}в - Ql234 "Ь ' ' '
206
Четырехиндексные функции здесь добавлены для полноты. Чтобы их
рассчитать, нужно взять более сложное выражение, нежели (43). Нижний
индекс В в (45) указывает, что функция Вх берется как независимый
аргумент и является фиксированной. Этим равенства (45) отличаются от
равенств (29), где Вх связаны с <8^ а следовательно, и с-|<а> формулой
(16) или (30).
Стохастическое выражение (43), как и аналогичное выражение для более
высоких нелинейностей, является линейным относительно случайных функций
?<а>, имеющих нулевое среднее значение. Поэтому (%х)в от В не зависит, и
во всех приближениях будем иметь
Qi = Afj. (20.46)
Используя (43), а также (44), нетрудно найти входящие в (45)
двухиндексную и трехиндексную функции: п v с(Юо(а)п(а) - V eW е(°) п(Ю
Y12 Zj ^13 *->24 А34 = ZJ *->1 *->2 А12 >
О о
<?12,3 = ? + Sf0)S$/?i(40)], (20.47)
a
Г) ___. V1 о(^) о(СТ) c(a) Г)(а)
V123 - Zj 'Jl ^2 ^3 A123* a
Четырехиндексные функции Q... будут рассмотрены в дальнейшем (§ 21).
Данное здесь определение функций G... до известной степени аналогично
определению (15.68), (15.69) функций Ф... в § 15.
7. Квадратичные ФДС третьего рода. Найдем теперь корреляторы (29) и
функции L..., комбинируя (43) и (16). Подставляя равенство (16), взятое в
приближении (32), в (43), будем иметь
Sx = Мх + ? + 5,(^ГС3,4 + 8i) +
a
+ VaSl^Gg. 45 (h + (h + S5) -[-••¦] (20.48)
В правую часть в качестве $г следует подставить равенство типа (48).
Таким образом итерациями <8Х можно с любой точностью выразить через и hv
Затем можно находить корреляторы (29), используя (44). Чтобы найти (<8±,
в первом неисчезающем
приближении, т. е. с погрешностью (kT)2, достаточно взять выражение е
8х=М, + ? [S{a)gfa) + Sla2kia)G3,ihi].
О
Вычисляя коррелятор по обычным правилам и учитывая (44), получаем
(<?i, аг2) = ? [si0)sr/?f20) + (5,<")^) + sr'slXlGA]-
о
Учитывая (47), эго равенство можно записать так:
(<81, $= Q12 Q12, зG3hg.
Согласно (29) отсюда имеем
hi2 = Qiz> ^12, з = Q12, яРя,- (20.49)
207
Вследствие (23) и (40) эти равенства дают
(2050)
Q12, з - -ifi [r2Qi, 2з 4" Г/^г, 13 - (Гi Д- Г2) Q3, 211-
Первое из этих равенств есть эквивалентная запись линейного ФДС, а второе
-одно из двух квадратичных ФДС третьего рода.
Чтобы получить второе квадратичное ФДС, найдем при = 0 тройной коррелятор
8?3) = Lli3 с помощью (48). При этом
нужно учитывать члены порядка (kT)а и отбрасывать члены более высокого
порядка. В качестве равенства, выражающего <?5 через ?(а), достаточно
взять равенство
"X = Л4> + ъ 5i°)Ei(T) + L Sl^0)G3, 4SW- (20.51)
а а, х
Учитывая (51) и (44), получаем
+ s$ (s^RlVG^s^RiV + +
+ S^i2Sfa)tf RiV 1-
Используя (47), а также вводя обозначения
Q>2.3 = ? SfilsP'RlV, Q,+2. 3 = 2 StilS^R^V, (20.52)
G <T
так что Q\2, з ~ Qr2, з + Q21, 3, это равенство можно привести к виду Дгз
= Q123 4- Q12,5G5Q53 -)- Qi3,5Q5Q52 -f- Q31,5G5Q25 4-Q23,5G5Q15. (20.53)
Вследствие первого равенства (50) при использовании (42) имеем
G5Q53 = -(ftr3Ga (Q5, з - Q3. 5) = -ihГ3 (б33 - У3г,),
G5Q15 - -iHT5G5 (Qi, 5 - Qs, 1) = - (ЙГ5 (У 15 - 651) =
= (ЙГ1+(Х,5-б5,),
и поэтому
Qi. 25G0Q53 = -iftr^Q,, 23 (1 - X?) = ШД (Х3 - 1)Q.,23, /ОЛС/1ч
(20.54)
Q23,5G5Q15 = ihY\ (Xi - 1)Q23,1.
Учитывая (54) и подставляя (50), из (53) . находим
Д23 = Q123 4- й2 (Гз (Уз - 1) Cl 2 Qi. 23 + rfQ2,13 - (ГГ + Г2) Q3,21] +
+ Г1+(А4 - 1) [r3Q2,3i Д- T2Q3,21 - (Г2 Д- Г3) Q(r), 23]} +
Д ifi (X2 -- 1) [r2Qi3,2 Д- r2Q31,2]
Вместо (ГГ Д- 1Д) riQ3,2i можно подставить выражение -ГГпДЗз, 2i, равное
'первому в силу (16.73), а вместо Г* (Г2 Д-+ Гз) Q4 гз подставить -
ГДИ^, 23, Приравняем полученное
208
выражение выражению, стоящему в правой части (41), где вместо ГГГз<3|, 1з
взято - (ГГГ2 + Г2Г3) Ql, 13. При этом члены с Х3 и Х1 сократятся. Члены
со "странным" оператором Х2 выпадут из найденного равенства тогда и
только тогда, когда справедлива формула
-/Й[ЮТ?1. гз + iYltQa, 12 - (Г,+Г2+ + Г2Г3) QI ,3] =
= ВДз,2 ;- (20.55)
Но поскольку в силу (50) имеем
- ifi [r3Qi, 23 + rtQ3,12 - (Г/ -f- Г2) Ql, 13] = Qi3,2 -f- Q3+i, 2 =
Q13,2>
(20.56)
то равенство (55) в квантовом случае эквивалентно равенствам
Ql3.2 = -(Qb 32 - Q5. (20.57)
которые аналогичны (19.50). В неквантовом случае равенство (55) не
отличается от (56), так что члены с Х2 заведомо выпадают.
Если справедливо (55), еще раз используя (16.73) и производя сокращения,
будем иметь
Q123 - к2 [Г2Г3 (Q., 23 + Ql,23) + гГг3 (Q>, 13 h Q2, 13) +
+ ГГГ^ (Q3,12 + Qf, 12)]. (20.58)
