Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
;= kT.
ICO
В линейно-квадратичном приближении можно не проводить различия между
Ф1)2, Ф1,23 и Ф1,г> Ф1,23 и, отбросив более высокие члены, пользоваться
уравнением
Si = -Ф1,2 {x-i - К) - V-Pi, 23 (х2 - h.2) (х3 - h3) +
+ 2 [S&&' + SMa) (хз - Аз)]- (19.32)
О
В уравнения (30) и (32) внешние силы входят в той же комбинации, что и в
правую часть (21). Это значит, что мы воспользовались гипотезой
простейшего включения сил. При нулевых силах h уравнение (32) совпадает с
(15.57), если положить
F\[x, |] = - 2 12^2°^ Вш^г^-Кз! • (19.33)
О
Формулы (15.58) определяют функции Ф12,з> Фхгз- В нашем случае их можно
выразить через функции Sffl, Si 23, входящие в (33), и корреляторы (31).
Корреляторы (Fj, F2)x, (Flt F2, F3)x должны вычисляться при фиксированных
функциях ха (t) в (33). Учитывая (31) и пользуясь выражением (33),
нетрудно получить
(Fu F2)x =
= 2 [sI^s^kW + s^ls^KiVx, + srs^KlVx,} = ф12 + ф12. 3*3, (Fb F2, F3)x=o =
- 2
о
и, следовательно,
Ф12= 2SW, (19.34)
о
/тч V1 ( с(°) с(°) ifW [ с(°) с(о) /z(°)\
^12,3 = Zj W143*^2 А42 "h *^243*^1 A14 )j о
^123- - L 0| 02 03 A123 *
(19.35)
В дальнейшем для квантового случая потребуются обозначения
фп; з=2 stfjsfW> ф+,з = 2 s{$sfW- 0 э.зв)
а а
так что в силу (35)
Ф12, з = Ф12, з Т Ф21, з- (19.37)
6. Вывод квадратичного ФДС, затрагивающего Ф12, з- Подставляя
равенство
ха - Ва -у V2sapvBpBv,
аналогичное (23), в (32), в рамках выбранного приближения будем иметь
Вх Т Ф1,2В2 = Фх, oh2-V^i,±Si23B2B3 - V-FDi, 23 {В2 Л2) (В3 h3) -
+ 2 [5{0)|{0) + Su!з?20) (Вз - Аз)]
О
191
(ср. (24)). Отсюда находим
- (Pi г Ф1) 11 Ф1Л1 Va^i^iгяВ2В3 Va^i, гз(Аг - ^г){В3 - hз)4~
+ ? [S[a)l\0) 'rS{V,,&°)(B3 - Лз)] j. (19.38)
Если теперь итерациями внутри фигурных скобок в качестве Вг подставлять
все выражение (38), то можно выразить Вг через h и ?(°>. После этого
можно найти всевозможные корреляторы параметров В,. Нам требуется найти
коррелятор (Вь В2) = G12 + G12i3/i3, точнее, функцию G12i3, с довольно
низкой точностью, а именно - при учете лишь членов порядка kT. Члены
более высокого порядка по kT могут быть отброшены. Для этого в выражении
Вг [h, |<а> ] не нужно учитывать члены, квадратичные (и выше) по h, а
также члены, квадратичные (и выше) по ?(сг>. Поэтому для вычисления G12>3
с нужной точностью достаточно воспользоваться получаемым из (38)
выражением
В\=Т] j-<D,W2 ? -
- ф". 23Т2 ? Б(2а)йа) (Т3Ф3 - 1) h +
(J
+ ? [5,(а)?!а) + (Т3Ф3 - 1) h3) J, (19.39)
где использовано обозначение (27). В (39) учтено, что прочие члены, не
содержащие случайных функций, не оказывают влияния на коррелятор (Въ Вг).
Используя (39) для вычисления коррелятора (Ви В2), в квантовом случае при
нужной точности получаем
Gi2, з = - ТгТ3 ? [{<bxSmT4KlV + Ф2$жТ*К№) Т3Ф3
О
+ (Ф,. i3T4KiV + Ф2, rsTiKl?) (ГзФз - 1) -
- 3^(42J + s?]3K\?) (Т3Ф3 -1)].
Здесь и в дальнейшем для упрощения записи матрицы 5,2* полагаются
единичными (тождественными).
Принимая во внимание (35), (28) и формулу линейной теории G12 = Т{Г2Ф\2 =
Т{Г2 ? К\2 (см. (34)), которая аналогична (18),
О
полученное равенство можно записать так:
G12,3 = - (G1S14aG42 -)- G2S243G14) G3 -
-¦ (T 1Ф1,43G42 - i- T2Ф2,43G14) (G,> 1) г Т{Г2Ф12, з (G3 1).
Учитывая (17.6), отсюда будем иметь
G12, 3 = -[Г2 0,5,23 (G2 - G2) r,*~G252i3 (G, - G,)] G3 -
- ih [Г2 T,Ф1, гз (G2 - G2) -)- Г^'Т'гФг, 13 (Gi - G,)] (G3 - 1) -)-
+ nW2l3(G3-1). (19.40)
192
С другой стороны, биадмитанс G]2,3 определяется соотношением
(17.59). Подставляя в него равенство (29), получаем
G\2,i=ih[ Г'2 (G1S123G2G3-f 7\(r)1 , 23 (G2- 1)(Оз - 1)] -
- rt [G252i3GiG3 -)- Т2Ф2, 1з (Gi - 1) (G3 - 1)] Н~
+ (It + Г2") [G.G^Ga + (G, - 1) (G2 - 1)Ф3В, ,2Г3]). (19.41)
Здесь мы учли, что 5312 = S312 вследствие равенства eaepevsapv = sagY,
вытекающего из инвариантности шрав (гВ) = twpaB (В) равновесного
распределения относительно обращения времени. Кроме того, учтено
равенство [(/J3 + Фз)~']в == [(рз-Ь Фз)-1)7" т- е- Т3=Тт3, вытекающее из
(15).
Приравнивая выражения (40) и (41), видим, что часть членов сокращается, в
частности, сокращаются все члены с вследствие симметрии типа Skim = Sikm-
После этого находим
[Т1 jТ2Ф12, з Д- *ЙГ2 (G2- 1) Т1Ф1, 2з Д itiT't (Gi - 1) Т^Фг, 13] (G3 -
1) =
= it (Tt Д- ГГ) (G, - 1) (G2 - 1) Ф3В ,2Т3. (19.42)
Используя (27) и (28), нетрудно получить, что Gt - 1 = -р{Тг. Подставляя
это равенство в (42), после сокращений на Тъ Тъ Т3 будем иметь
окончательно
Ф12,3 = kT [0ГФ,, 23 + вТФ2,13 + (Р10Г + Р2&Т) Р^Ф112I (19.43)
При этом учтено, что Ф3,12/0Г' = -ЛД'Фз, 12- Найденное соотношение по
форме аналогично (17.66). В неквантовом пределе из него следует
(15.59). Данное соотношение относится к квадратичным ФДС первого рода.
7. Другое квадратичное ФДС. Для вывода соотношения, которое
затрагивает функцию Ф123, следует найти равновесный коррелятор (51( В2,
В3) = G123, соответствующий нулевым внешним силам. При этом в (38)
следует положить h = 0 и выразить Вх через ?<а>, оставляя лишь линейные и
