Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В самом деле, вследствие (17.44) и (17.59) из равенства (1) вытекает
исчезновение функций G12j3 и G123.
Из (1) согласно (20.8) следуют также равенства
Ql ,23 = о, Q 1,234 = Q1Q2Q3Q4G! ,054 . (21-3)
В приближении (20.32) в случае (1) равенство (20.30) будет иметь вид
<?\ = -hi + Qi)2B2 + 1/eQi,234B2B3B4. (21-4)
Сначала найдем, как функции L... выражаются через четырех-индексные
функции G... Пользуясь равенством (4), найдем коррелятор (, <о2)- По
аналогии с (20.33), применяя правила, изложенные в § 1, будем иметь
1, <§С2) = Q1Q2 (Bi, В2) -j- VeQiQ2,567 (В4, B5BeB7) +
+ VeQ2Qi,5e7 (В6ввв7, в2) =
= Q1Q2 (в1; в2) -f- V6QiQ2,5e7 ((Bi, в5) (В6) (в7) +
+ (Вь Be) (В6) (В7) + (Вг, В7) (В5) (Be)) +
+ VeQ2Ql,567 ((В5, в2) (в6) (В7) +
+ (Ве, В2) (Я) (В7) + (В7, В2) (В6) (Вв)). (21.5)
Прочие члены не выписаны, поскольку они дают вклад более высокого порядка
малости, нежели кТ (при йм ~ кТ). Вследствие симметрии типа Q2,5e7 =
(?2,б57 и т. п. все три члена в круглых скобках дают одинаковый
результат. Подставляя (2) в (5), находим для функции Ф12,34, определяемой
вторым равенством (20.29), выражение
Cl2,34 - QlQ2Gl2,34 - (QlGl5Q2,534 " 0+5201,534) G3G4. (21 -6)
Чтобы найти В 12з,4> выпишем, используя (4), тройной коррелятор случайных
сил
фг, К ?a)=0iQ2Q"(fli, Вг, В8) +
+ 1 /вQ1Q2QИ,п<77 (Bi, В2, В5В6В7)
+х/6Q1Q2,507Q3 (Bi, В6В6В7, В3) -ф 1/eQi,5в7^2^з (В5В6В7, В2, В3).
(21.7)
Используя равенство типа
<?3,567 (Вь В2, В5В6В7) = 603>М7 (Вь В5) (В2, Ве) (В7) [1+0 (/гГ)],
212
запишем (7) в виде
(?ъ &г, 83) = Q1Q2Q3(B1, В,, В3) + + (Q1Q2 {В\, Въ) (В2, Be) Q3,567 +
QiQz (Bi, Въ) (Be, Вэ) QitbS7 + 4~ Q2Q3 (В5, В2) (В3,В3) Qi,567) (Bi) .
Здесь выписаны только те члены, которые приводят к вкладам порядка (kT)2.
Члены более высокого порядка опущены. Подставляя сюда (2) и выделяя
линейные по h члены, в соответствии с третьей формулой (20.29) будем
иметь
7-123, 4 = QiQiQaGiiZfi г
(Q1 QiG 1 bG-ifiQ:!"t" 564 Q>Q:firyfiiyiQiры) G(21.8)
Наконец, перейдем к четверному коррелятору (<$7, <%ъ <%3, <S = = 7-1234 +
••• При его вычислении можно положить h = 0. Нас будут интересовать члены
порядка (kT)3. В этом приближении после использования (4) находим
7-1234 - G1Q2Q3G4G1284 "Ь V6Q1Q2Q3G4,567 (В\, В2, В3, ВьВеВ7) -)-
~\~1leQiQ2Q3!^7Qi(Bi, в2, в&ввв7, В4) -1-"1" 1/eQiQ2,567Q3Q4(Bi, ВЬВ§В7,
в3, в4)-р
+ 1UQl,bvQiQAi(BbB3B7, 73.,, Вэ, Т34),
причем в данном приближении следует воспользоваться равенствами типа
Qi, ей (73i, в2, вя, В5В6В7) = ==6Q4,5e7 (Bi, В&) (Во, Ве) (В3, В7) =
6Q4!56;G]SG2(,Gp7 Эго приводит к такому результату: 7-1234 =
G1Q2G.1G1G1234 Г QlQlQ'fi ifilfiinQl.ol'u 'i ~Ь QiQiQiG]3G23G7iQ3^e7 f-
Q,Q:tQ3GlhGiaG7iQ2,51,7 -(- QiQaQiG^G^G-jJ^i^^.
(21.9)
2. Диссипационно-определяемые и диссипационно-неопределяе-мые части
функций L.... Как известно из § 18, четырехиндексные функции G1234,
G123j4, G12,34 распадаются на диссипационно-опре-деляемую и
диссипационно-неопределяемую части. Подставим формулы (18.16), (18.23) и
(18.34) в формулы (9), (8) и (6) соответственно. После этого функции
L12;34, L123,4, L1234 также разде-
лятся на диссипационно-определяемые и диссипационно-неопреде-ляемые
части:
1 - Т 0) 1/(2) / -/С) I Г <2"
*-12, 34 -*-12, 34 *-12, 34) *-123,4 -*-123, 4 4" *-123, 4"
т _ I (1) _L 1 <2> (21-10)
*-1234 -*-1234 -+- *-1234-
Имеющиеся в (6), (8) и (9) дополнительные члены, выражаюгциеся через
QI;,, G12, Qlt 234, разумеется, следует отнести к диссипационно-
213
определяемым частям. Поэтому для диссипационно-определяемых частей будем
иметь такие формулы:
^12? 34 = Q1Q2G12! 34 + (Q1G15Q2, 534 + Q2G32Q1, 534) G6G4,
^123, 4 = Q1Q2Q3G123, 4 + (Q1Q2G15G26Q3, 564 ~г Q1Q3G15G63Q2, 564 -
+ Q2G3G52G63Q1, 564) G4, (21.11)
^1234 = Q1Q2Q3Q4G1234 - Q1Q2Q3G15G26G37Q4, 567 4"
~\~ QiQiQiGjrfi^G-^Q:^ 567 f Q,Q3Q4G15Gc3G74Q2i 567 г
+ Q2QsP4G3aGesG74QI>Be7. (21.12)
Что касается диссипационно-неопределяемых частей, то для них имеем более
простые формулы:
34 = Q1Q2G12! 34" ^123, 4 = Q1Q2O3G123, 4)
Полученные формулы будут использованы ниже.
3. Стохастическое представление и следствия из него. В
линейнокубическом приближении стохастическое представление случайных сил
следует взять более сложным, чем (20.43):
"х = ? [SlШа) + S\Ulia)B3 + y2Sltd(2a)B3B4]. (21.14)
О
Здесь *512?34 = Зы^з! член AU отсутствует вследствие' (1) и (20.66).
Пользуясь представлением (14) и рассматривая в нем Ва (t) как
фиксированные функции, найдем четырехиндексные функции Q..., определенные
равенствами (20.45). Вычисляя коррелятор (8 и &2)в при помощи (14) и
(20.44) и выделяя в нем билинейные по В члены, получим
С?12, 34 = [Зщ uRbV -г S25!34^15* + ^34 (21.15)
о
Здесь и в дальнейшем предполагается, что Sf^ = 612- Без этого
предположения все выкладки сохраняют свое значение, но некоторые формулы
станут несколько длиннее. Вводя обозначения
т~~ V1 с(п) п(п) /+ V1 с(п) п(п)
V 1234 - Zj ^15,34А52 > *М234 = Zj *^1534А25 >
is _____ У1 с(а; c(ff) п(°) (21.16)
А1234 ~- Zj ^153 ^264 А 56 )
