Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
именно,
Ьз = Q3, гДб V2Q3, iPe, ish-jh#- • • •
и т. п. Это даст
h\ = Qi, 2Ч2 - V2Q1,2^2, 34Qs, 5Q4, e-^5^6 -
-VeQi, 2Q2,345Q3,6Q4, 7Q5, з-Д-Д/Д ¦ [¦
~b 1UQi,2G2,34(^3,5 Q4,6 "b Qa, eQ4,а] A5Q0, ishyhg
198
Продолжая подстановки описанного тина и сравнивая полученное разложение с
(1), можно найти импедансы любого порядка. В частности, для импедансов,
выписанных в (1), получаем выражения
Импедансы, как видно из (1), (4), симметричны относительно индексов,
стоящих за запятой, т. е., как и адмитансы, удовлетворяют равенствам типа
(16.5). Как и адмитансы, импедансы удовлетворяют условию причинности
TI21Q1,2.,.т ~ 0. Легко видеть, что условие причинности для импедансов
(4) вытекает из соответствующего условия причинности для адмитансов Gb 2,
С4> 23, С1) 2а4.
Если равенство (16.4) (взятое во временном представлении)
продифференцировать по tly то получим (16.8), причем модифицированные
адмитансы У1,2,..т определяются формулой (16.7). Записывая зависимость,
обратную зависимости (16.8), получаем равенство
которое служит для определения модифицированных импедансов 2...Ш- Связь
между Qi,2...m и Zli3...m можно найти, подставляя Jt =¦ ptAt в правую
часть (5). Получаемое после этого равенство следует сравнить с (1). Это
дает
Ql, 2...m = Pl- • -PmZi, 2...т -(-I)"' ' Р'2 • • • PmZ\, 2.. .mi '
(20.7)
так как операция транспонирования, обозначаемая буквой т, переводит
оператор р в -р.
Условимся в целях сокращения записи к двухиндексным матрицам QXt 2, Zb 2,
G4j 2, Yi, а применять матричное или операторное обозначение, подобное
тому, которое использовано в (6) и (7). Именно, вместо Qj, 4G45e будем
писать QiG158 или С15вфф а вместо G458Q5i., будем писать G42eQ: или
QlGi2S. При этом сокращенном обозначении второе и третье равенства, (4)
можно записать в таких формах:
QI, 23 = -QlG,. 23Q2Q3 = -Q1Q2Q3G1, 23)
(20.8)
Ql,234 = Q1Q2Q3Q4 [ Gl, 234 -j- P(234)Gl, 25Q5G5, 34].
где P(234) обозначает сумму по циклическим перестановкам индексов 2, 3,
4.
В заключение этого пункта отметим, что обращение матрицы Gly 2 для
отыскания Q4, 2 удобнее всего производить в спектральном представлении. В
этом представлении Сь 2 согласно (16.20) имеет вид G", Р (озь (02) = G'a,
р (со,) 6 (со4 + со2). Поэтому
Gl, 2 К = j Ga,, р ((Di, со2) Н (со2) йщ = Gi" (со ) (- сот).
Ql, 2 - Gl * 2" Ql,23~-Q1.4G4, 56Q5, 2^6. 3.
Gl, 234 = Ql, 5 [-G5, e78 -f- Gs, eeQe, lGI, 78 +
+ G5j nQvfGi , es ~b Gb,№Q9l iGlt 87] Q,,aQ7> 3G8) 4.
(20.4)
(20.5)
Ql, 2. . . m - Z4, 2 . . . mPi . . . Pm
(20.6)
или
199
Подставляя это равенство в формулу Q1; 3Q3, ~ /О- получаем
j Qa,, V ("l > (r)з) Gy, Р (и3) /гр (-Из) dco3 = hai (hi).
Легко видеть, что данное равенство выполняется, если
Q", V ((r)ь Из) = [Gy, а (-и,)]'1 8 (о), -f- и3). (20.9)
Сопоставляя (9) с равенством (16.24), т. е. согласно обозначениям данного
параграфа с равенством Qlt 2 = Q"1>r/., (-их) б (со3 + со,), получаем
||Q;.p(co)|| = ||<7a.p(co)ri = fiG;,p(H)r. (20.10)
Здесь имеются в виду "малые" матрицы, получающиеся изменением индексов а,
р при фиксированном и, в то время как в первом равенстве (4) стоят
"большие" матрицы, получающиеся изменением ах, tx, a2,4 или аь иг; сс2,
и2.
2. Соотношение взаимности для линейного импеданса. Из того факта, что
адмитанс Gь , удовлетворяет соотношению взаимности (17.31) или (17.32),
вытекает соотношение взаимности для импеданса Qj, 2.
Предположим сначала, что все параметры Ва - четные по времени, т. е. все
ea = 1. Тогда (17.32) будет обозначать, что матрица G'aр (ш) симметрична.
Но симметричной матрице соответствует симметричная обратная матрица.
Следовательно, симметричной будет и матрица (10):
Qp, a (w) == Qa, р ((r))-
Таким образом, для данного частного случая соотношения взаимности
выполняются. То же самое справедливо и в том случае, когда все параметры
нечетны по времени.
Перейдем к общему случаю, когда имеются как четные, так и нечетные по
времени параметры. Расположим их так: В - (С, D), где С -набор четных, а
D -набор нечетных параметров. Тогда матрицу G'a, р (со) можно записать в
блочном виде
<20">
причем R (со) соответствует четным, 5 (со) - нечетным параметрам, а U
(со), V (со) -перекрестные матрицы, в общем случае не квадратные.
Транспонирование матрицы (11) дает {R'( ос) Щ(со)\
WT(co) ST (со) /
Учитывая еще входящие в (17.32) сигнатуры eaep, записываем это
соотношение в виде
/ RRсо) /"М Т/(со) \
ST (со) / W(w) S (со) / '
т. е.
Рт (со) = Р (со), 5Т (со) = 5 (со), Ут (со) = - U (со). (20.12)
200
Найдем теперь матрицу, обратную матрице (11). Непосредственным
перемножением матриц нетрудно проверить, что обратная матрица имеет вид
/Я-1 + R-WE-'VR"1 - Я-Ч'Я-Ч /К(ш) М(со)\
[ -E-WR-1 Е-1 / l/V(co) Z. (со) / '
где
E = S-VR~1U. (20.13)
Предполагается, что обратные матрицы R-1, ?-1 существуют. Используя (12),
нетрудно проверить, что матрица (13), а следовательно, и Е~г ее L,
является симметричной. Далее, вследствие симметрии матрицы ?-1 и
соотношения VT = -U симметричной является матрица R^UE^VR-1, а
