Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Г}234 = (kT)3 [02 03 04 {У \, 234 + У\, 23з) + (c)/"(c)3 04 (У2, 134 + У2,
1З4) +
+ 0^(c)Г (Гз, ,24 + Г3В, 124) + 0^02'03' (Г4, ,23 + Г4В, ,23)] ,
г}^, 4 = (kT)2 (0Г0ГГ,, 234 + 0f (c)Г** ,34 + (c)WK3. 124 -
- (р,02"0.С + P2@t@r + Ps(r)tof) рт' Yl 123], (18.74)
Y[l\ 34 = kT (02"Г,, 234 + (c)f K2, I34),
где 0* имеет тот же смысл (17.63), что и в соотношениях, приведенных в п.
17.7. Далее, из (42), (43), (49) и (61) получаем
34 = Yfi] 34, 0Г6ГГЯ! 34 = 0М 12,
Ylll 4 - kT ((c)з Y\2] 34 -j- (c)г Y13/24 4- (c)гТзцУ У (c)/"Г23, и),
= (kTf [(c)Г0гг$ 34 + 04~ (0гг,з,(22] Ь 0^,(22!) -
+ EyfefYlf, гз + eteTYg] ,4 + (c)г (егУй.я + eM/i!) +
+0M^i 12], 185
причем Y\2,м - pip2Gf2,(34. Очевидна аналогия модифицирован-
ных формул с исходными. Эта аналогия имеет место и для других формул,
которые не выписаны. В неквантовом пределе операторы (c)±(/0 переходят в
единицу и вместо последних трех соотношений (75) имеем
Первое равенство (76) является немарковским аналогом соотношения (10.22).
Суммируя соответствующее выражение из (76) и Y12!34, получаем соотношение
являющееся немарковским аналогом соотношения (10.23). Аналогичным образом
вытекающие из (76) и (77) соотношения для К1аз,4 и Y]234 являются
аналогами соотношений (10.24), (10.25). Видим, что и те и другие
соотношения имеют одинаковую структуру, хотя некоторые члены и отличаются
знаками. Подобная однотипность структуры характерна для ФДС различных
родов.
§ 19. Связь ФДС первого и второго родов
1. Релаксационные уравнения, учитывающие действие внешних сил. При
отсутствии внешних сил релаксационные уравнения в немарковском случае
имеют вид (15.1). Когда лее на систему действуют меняющиеся во времени
внешние силы ha (t), релаксационные уравнения, естественно, имеют более
сложную форму
Здесь %а - некоторые функционалы, обладающие тем свойством, что Ха И (•),
0] совпадают с функционалами ' [А (•)], стоящими в (15.1). Следовательно,
при равных нулю внешних силах уравнения (1) переходят в (15.1). Наряду с
внешними силами ha (t) можно рассматривать силы ха (t), которые
представляют собой функции от А а (t). Переход от Аа к ха есть просто
замена переменных. Зависимость х (Л), строго говоря, обратна зависимости
Аа (х) = j Ва^рав (В) ехр фВх) dB / j оУрав (В) ехр фВх) dB (19.2)
(18.76)
а вместо (64) получаем
Y\2, 34 = kT (К), 234 Y2, 134),
K123, 4 = {kT)2 (К), 234 + Y2, 134 + K3i 124 -f- Y*t 123) > K1234 = {ЬТ)Ъ
P(\23i) (Ki, 234 -j- Kf, 234)-
(18.77)
K12, 34=kT (Yij 234 + Y2, 134) ~r ^"12! 34)
А* = Х"И(-). A(-)]-
(19.1)
186
и приближенно может быть представлена формулой (5.30). Делая в правой
части (1) замену переменных, будем иметь эквивалентные уравнения в
приведенной форме
Л06 = -?2"[дг(-). /"(•)]¦ (19.3)
При этом, конечно, Qa [х (A), h ] = %а [А, h ].
Чтобы при нулевых силах h (t) уравнения (3) переходили в (15.2),
функционалы [х, h\ должны удовлетворять условию
ЯаИ-). 0] = ?"[*(¦)], а=1, 2, ... (19.4)
Укажем еще одно свойство входящего в (3) функционала. Если внешние силы
ha постоянны во времени, то равновесным распределением является
распределение
wh (В) = const• ы'рав (В) ехр (-|ЪВК), (19.5)
получающееся из распределения Гиббса
wh (г) = const ¦ ехр (-(г, /г)) = const • ехр (-$Ж0 (г) : |ЗВ (г) /г)
(использовано (16.1)). Распределению (5) соответствует в силу (2) среднее
А ф). Оно не должно меняться во времени. Следовательно, при А (х) = А
(/г), т. е. при х = /г, должно иметь место равенство
А - 0, или, в силу (3), равенство
Я"[Л(-). Л(-)] = 0 (19.6)
при /гр = const (а =1, 2, ...).
Если известно уравнение (15.2), то в общем случае еще неизвестно, какой
вид имеет уравнение (3) с силами, поскольку функционалы Qa [х, h] не
определяются полностью равенствами (4) и (6). Однако
можно высказать гипотезу, что в достаточно большом числе
случаев
функционалы Qa [х, h] весьма просто определяются функционалами Ы:
Я"[*(-). М-Я^аИО-Ч-)]. (19.7)
Эту гипотезу назовем гипотезой простейшего включения сил. Оче-
видно, что при этом условия (4) и (6) выполняются.
Равенство (7) является весьма сильным утверждением и в полной мере его
доказать не удается. Некоторые аргументы в его пользу в марковском случае
будут приведены в дальнейшем (п. 8).
В общем случае будет показано, что оно является достаточным условием для
того, чтобы из линейных и квадратичных ФДС второго рода вытекали
соответствующие соотношения первого рода.
2. Вывод соотношения взаимности первого рода. В рамках линейной теории
уравнения (3) при гипотезе (7) принимают вид
А1 = --Ф1, з (Х2 ~ (19.8)
где Ф1|5 имеет тот же смысл, что и в (15.4). Зависимость х (А) в это^
Приближении линейна;
= (19.9)
187
(см. (15.8)). Подставляя (9) в (8), получаем
(РА. + Ф1г3им) Аа = Фь А- (19.10)
Здесь Uза - матрица, во временном представлении имеющая вид (J 32 - Ua3a2
(7з, ti) - Ua3a 2 6 (732), 3 612 = ^a,a2 (r) (^12) • Разрешая
(10) относительно Л2, имеем
Аз = (рАг "I- Ф^з^зз) 1 Ф1, зАз- (19.11)
Сравнивая (11) с (16.4), получаем
