Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если использовать функцию Гамильтона 36\ (z') = уг36\ (z),
соответствующую оператору L\ - у2L(, то равновесное условное
распределение (65) запишется в форме распределения Гиббса
Рр (г | Q,P) = const • ехр (- у23б[ (г - Q, P)/kT]. (Д.65а)
Поэтому при указанном усреднении в уравнение (64) войдет явная
зависимость от у. Имеется два способа избегнуть этого. Первый способ -
это сделать температуру термостата Т зависящей от у по формуле Т = уа7';
это значит, что температура будет бесконечно повышаться при у -*> оо.
Второй способ -это изменить формулы (61)
443
при не зависящей от у температуре Т. В следующем пункте будет использован
второй способ. При этом в уравнение (64) должен будет добавиться еще один
член.
Если от Li, L'2 вернуться к Lb L2, то уравнение (64) примет вид
wt = П
L
3 "Г
L2 [ dae' ^Li
П wt
(ст = s/'у2). Метод, использованный для вывода уравнения (64), носит
название адиабатического исключения. Он применим (см., например,
[10]) также и в квантовом случае.
8. Пример вывода основного кинетического уравнения, а) Постановка
задачи. Рассмотрим простую механическую систему с переменными Q, Р,
присоединенную к линейной волновой цепочке, играющей роль термостата.
Пусть механическая система имеет гамильтониан Ж, (Q, Р), а полный
гамильтониан пусть имеет вид
N N
Ж (г) = Ж0 (Q, Р) + -gL ? р] + -f 2 - fc-i)*' (Д-66)
/= i ,-=i
где q0 = Q.
В роли малого времени т0 здесь выступает (т/х)1/2, а время релаксации
подсистемы S можно оценить так:
( дгЖ0 32Р^о \ -1/2 ТР ~ V 0Q2 дР2 )
Следовательно, процесс Q (t), Р (t) будет марковскоподобным при
выполнении неравенства
(щ/х)1/'2 <тр. (Д.67)
Это условие будет все более уверенно выполняться в процессе предельного
перехода волновой цепочки в непрерывную волновую систему, имеющую функцию
Лагранжа
U = V2 J {р [q (*)]* - и0 [dq (*)/<5.v]2l dx.
Если соседние звенья цепочки расположены на расстоянии Ах друг от друга,
то при указанном предельном переходе следует полагать
т = р Ах, х = xJAx.
Тогда т" = (т/х)1/2 = (р/х")1/2Дх, и условие (67) будет обеспечиваться
малой величиной Ах. Большой параметр у, используемый в предыдущем пункте,
целесообразно ввести так: Дл:=у-2; при этом будем/ иметь.
т *= р/у2, х = у'Ч,. (Д.68)
444
Гамильтониану (66) соответствует оператор Лиувилля L = Ly + L2 + L3,
где
j дХ0 д дЭё0 д , , д 691
3 dQ дР дР dQ ' 2 ^ дР ' (Д-°у)
N
V Pi д
т дЦ]
/ = 1
г Л'-1
^ (ft+i " 2cli + Я1-1) -Щ- + (Ям-1 - <7w) -g^-
./=i
Вследствие (68) в данном случае имеют место равенства Li = y2L{, L2 =
y2L2 вместо (61). Именно благодаря этому различию из окончательного
уравнения выпадет у при не зависящей от у температуре термостата Т.
Равновесное распределение рр (z) определяется формулой Гиббса Рр = const-
exp (-Ж/kT), куда следует подставить (66). Легко видеть, что согласно
этому распределению случайные величины Ръ • ••> Pn> Ei = Qi Q> Ег = Ръ Ръ
• ••> Ejv = Qn Qn-i распределены статистически независимо друг от друга и
от пары (Q, Р). Следовательно, интегрируя по этим переменным, легко найти
распределение
• wv (Q, Р) = const-exp [-Ж0 (Q, P)/kT]. (Д-70)
Далее найдем равновесное условное распределение (65а):
рр(<7, р | Q, Р) = const-ехр [-3^1(q, р\ Q)], (Д-71)
где
N N
*1 (Я, Р\ Q) = S р} + T{qi - Qf + -Г S " ^-l)2'
/=1 ' /=2
(Д-72)
q = (<7!, ..., ?w), р= {ръ ..., Pjv). Последний гамильтониан описывает
волновую цепочку с закрепленным концом, имеющим фиксированную координату
Q. Учитывая, что величины \} = q} -qf_x в соответствии с (71)
распределены независимо и имеют нулевое среднее значение, легко получить,
что
<<&)" = & /=1,-,У. (Д.73)
Здесь (...)Q обозначает среднее с условным распределением (71).
Формулы (3), (11), определяющие П, П", в данном случае принимают вид
Пр -jp(Q, Р, q, p)dqdp,
IFw=*pp(q, p\Q)w(Q, P).
445
С их помощью легко убедиться, что в случае операторов (69) выполняются
условия (62), причем третье из них справедливо в силу
(73).
Таким образом, рассматриваемый пример во многом аналогичен случаю,
рассмотренному в предыдущем пункте. Разница лишь в том, что вместо Lo -
yL2 теперь имеем L2 = y2L2. Эта разница, однако, существенна, так как в
экспоненте под знаком интеграла в (63) будет стоять сумма L[ + QL2 -j-
y~2QL3, которую уже нельзя поменять на L{. В связи с этим для вывода
кинетического уравнения нужно будет применить другой метод, а именно
можно использовать формулы (42) или (46). Предварительно, однако, получим
ряд вспомогательных результатов.
б) Динамические уравнения и статистические свойства волны в цепочке.
Гамильтониану (69) соответствуют уравнения Гамильтона
Q = дЖ0/дР, Р=- dMjdQ + х (qi - Q), (Д.74)
Qj - Pjlm, j= 1, . . ., N, 'I
Pi = и(Д+i - 2qj + qj.i), / = 1 N - l, (Д.75)
Pn = x (Qn-i 4n)- J
Уравнения (75) дают
та<7/ = Я/+1 - 2q/ + Ш-1- (Д-76)
Если решение последнего уравнения искать в виде qj =
= С ехр (±1'сД ± Щ), то из (76) получим дисперсионное уравнение
tqco2 = 2(1 - cos X) = 4 sin2 (А,/2).
Будем предполагать, что со ^ О, К ^ 0, тогда последнее уравнение можно
