Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
сомнения уравнение (105) пригодно и во многих других случаях, когда
температуру термостата нельзя считать стремящейся к бесконечности, а
Связь с термостатом относительно ослабевающей, как это делалось при
выводе (64).
В заключение заметим, что определение марковского оператора можно
улучшить, заменив (21) равенством М ехр (Мтс) = = ПТ- ехр (7-тс) П", а
(20) - равенством ехр (Мтс) = П ехр (7-т0) П". Тогда зависимость М от тс
^ т0 еще более уменьшится. Существенно, что свойства (23), (29а) при
таком определении сохранятся. При указанном уточненном определении можно
рассчитывать М как ряд по степеням малого параметра т0/тр, а не только
первый член этого ряда.
II. Вывод линейного ФДС первого рода и соотношения взаимности методом
оператора проектирования
1. Измененный оператор проектирования. Ранее мы считали, что
распределение в фазовом пространстве р (г) эволюционирует по закону pt =
ехр (Lt) р0, а динамические переменные z или функции от них являются
постоянными. По аналогии с квантовой теорией такую картину можно назвать
"представлением Шредингера". Возможна, однако, и другая интерпретация.
Согласно ей любое распределение не меняется со временем, а динамические
переменные или функции С (г) от них изменяются по закону Ct - ехр (-Lt)
С0. Эта
452
интерпретация является аналогом представления Гейзенберга. Легко понять,
что указанные интерпретации эквивалентны, так как дают одно и то же
среднее значение
т (() = | С (z) pt (z) dz-jct (г) р (г) dz
(функция С (z) любая).
Перейдем от "представления Шредингера" к "представлению Гейзенберга".
Ясно, что в этом представлении, вместо операции проектирования Рр = П~Пр
(см. (14)), следует рассматривать операцию РТС (г) = Пт (ГГ)Т С (г),
приложенную к функциям от динамических переменных, так чтобы среднее |
СРр dz было одним и тем же в обоих представлениях.
Учитывая (4) и (12), нетрудно проверить, что оператор РТ = = Пт (П")т
оставляет неизменной любую функцию F (В) от переменных (г), ..., Вт (г):
P'F (В (г)) = F (В (z)).
Для вывода линейных соотношений первого рода удобно воспользоваться более
"сильным" проектированием (проектированием на более узкое пространство),
которое оставляет инвариантными лишь линейные функции от Ва (г), т. е.
функции вида F (В (г)) = с1В1 (z) + + • • • + стВг (г). Нетрудно
проверить, что этим свойством обладает оператор, определяемый формулой
§У
PC (г) = ? Ву (z) (ВВ)$ (5РС). (Д. 106)
v- Р
Здесь мы пишем Р вместо Рт только в целях сокращения записи. В (106)
(ВВ)-матрица, обратная матрице (Вр (г) Ву (г)); среднее берется с
равновесным распределением рр.
2. Вывод формулы Мори. В дальнейшем будет использовано тождество
ехр (-Lt) =
t
= ехр (-QLt) - J dx exp (- Lt) PL exp [- QL(t - т)], (Д.107)
о
где Q = 1 - P. Убедиться в его справедливости нетрудно, перейдя в обеих
частях равенства к изображению Лапласа. Это дает
(s + LY1 = (s + QL)-1 - (s + L)-1 PL (s + QL)"1.
Проверить справедливость последнего равенства можно, умножив обе части
равенства слева на s + L, а справа - на s + QL. Дифференцируя равенство
Ва (z, t) = ехр (-Lt) Ва (z) по времени, получим
?*(*)= -exp(-U)LBa(0) =
^ - ехр (- Lt) (Р + Q) LB" (0) = Тх + Т2. ' (Д. 108)
453
Первый член 7\ = -ехр (-Lt) PLBa (0) в правой части (108) при помощи
(106) можно записать так:
7\ = - ехр (- Lt) Bv (0) (ВВ)$ (Вр (0) [Lfl"(0)]).
Вводя обозначение
([LBa (0)) Вр (0)) (ВВ)р' = dav, (Д. 109)
отсюда имеем
Тг = ~dayBy (t). (Д. 110)
Займемся теперь преобразованием второго члена в правой части (108).
Подставляя (107), получаем
Т-z = - ехр (- Lt) QLBa (0) = - ехр (- QLt) QLBa (0) f
t
+ \ dx exp (- Lt) PL exp [- QL (t - x)] QLBa (0)
Q
или
t
T2 = К (t) - j dx exp (- Lx) PLFa (t - т), (Д. Ill)
о
если обозначить
Fa (t) = -exp (-QLt) QLBa (0). (Д.112)
Учитывая (106), из (111) находим
t
Тг = Fa (i) - J dx exp (- Lt) Bv (0) (BB)yp (Bp (0) [LFa (t - t)]).
(Д.113)
Здесь exp (-Lt) By (0) можно заменить на By (т). В силу (112) и равенства
Q2 = 1 функция Fa (t) обладает свойством Fa (t) - QFa (t). Поэтому (Bp
(0) 1LFa (i -t) ]) = (Bp (0) lLQFa (t -t) ]). Далее, в силу свойства LT =
-L оператора Лиувилля имеем
([LQFa(t-x)]Bp( 0)) =
= J [QFa (Z, t - t)] |Lt [Рр (г) Bp (z, 0)]) dz =
= - \ [QFa (z, t - t)] \L [Pp (z) Bp (z, 0)11 dz. (Д. 114)
Вследствие равенства Lpp = 0 правая часть равенства (114) равна ~([QFa
(t-x)] [LBp (0) ]), т. e.
(Bp (0) [LFa (t - t)]> = - ([QFa (t - t)] [LBp (0)]). (Д. 115)
Используя (106), нетрудно получить
((Pf) g) = (Bag) (ВВ)йр (Bpf) = (f (Pg)),
mg)=(fg)-((Pf)g)=(fm)-
454
Поэтому (115) дает
(Вр (0) [LFa (t - т)]) = - (Fа (t - т) [QLBp (0)]). (Д. 116)
Но согласно (112) - QLBp (0) = Fp (0), следовательно, (116) можно
записать так:
(Вр (0) [LFa (I - т)]) = (Fa (i - т) Вр (0)).
Подставляя последнее равенство в (113), будем иметь
t
т, = Fa (0 - J dx (Fa (t - х) Bp (0)) <ВВ)Й By (x). (Д. 117)
о
Вследствие (110) и (117) равенство (108) принимает вид
Ba(t) =
t
= - dapBp (l) - j dx <B0 (t - T) Bp (0)) (BB)p(, Bv (t) + Fa (t).
