Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Ka(Qo, Po)=\va(Q0, P0,q0, Ро, Tc)pp(i?o- Po\Qo)dq0dp0. (Д.94)
Здесь динамические переменные для удобства отмечены нуликами. Под знаком
интеграла стоят функции va (z0; т) = -L ехр (-Lt) Аа, которые удобно
записать так:
Vj. (z"; t -t0) = dQ (t)/dt, v2 (z0; t - t0) = dP (t)/dt, (Д.95)
15 p. J]. Стратонович 449
где
Q (t) = exp [- L (t - t0) \ Q0, P (t) = exp [- L (t - t0) \P0 (Д.96)
при t t0. Здесь to играет роль начального момента времени, а переменные с
нуликом -роль начальных значений. Присутствие экспоненты ехр I-L (t -*")]
в (96) говорит о том, что эволюция происходит с учетом всех уравнений
(74), (75). Учитывая в (95) уравнения (74) и производя подстановку в
(94), находим
Кг (Qo, Ро)=\~ф-(0."с), P(tc)) Рр(7о. Po\Qo)dq0dp0,
(д. 97)
А'а (Qo. Л>) = J [--^г (<?&)- />&)) + /&)] Pp(<7o.Pol Qo)dq0dPo,
где tc == t0 + тс. Предполагается, что усредняемые функции выражены через
начальные значения Q0, Р0, q0, Ро- Скажем несколько слов о начальных
значениях q0, р0. Тот факт, что усреднения по ним ведутся с
распределением (71), говорит о том, что значения q0, р0 образовались в
результате эволюции при t < t0 с гамильтонианом (72), т. е. по уравнениям
(75) при постоянном Q (t) = Q0 при t < tn. Таким образом, в (84) и в (89)
нужно полагать
| ехр [-!(* - g] Qo при 1t0,
Qi)~\Qo при t<t0,
и это, строго говоря, нужно учитывать в (97). Однако свойства функции
(88) таковы, что влияние на (89) значений Q (t) = Q0 при t < t0 заметно
лишь при t -tQ ~ т0. Поэтому при t -^0~тс, поведение функции Q (t) в
области t < t0 не сказывается.
Вследствие неравенства тс С тр значения Q (Q), Р (tc) пренебрежимо мало
отличаются от значений Q (t0), Р (t0) соответственно. Следовательно,
после подстановки (91) в (97) будем иметь
/Сг (Qo. Ро) = -^pr-iQo, Ро),
(Д-98)
Ко (Qo. Ро) = ~Щ~ (Qo> ^о)-(кт)1 /2 (Qo> Ро)'
Здесь опущены имеющиеся в (91) пренебрежимо малые члены -V2ToQ,
Vs^oQ, которые имеют порядок (т0/тр) Q, (т0/тР)2 Q. Член Q (t) в (91)
предварительно был представлен как дЖ0!дР (см. (74)). Член т] (t) при
усреднении выпал.
Перейдем теперь к двухиндексным коэффициентам. Из (42) имеем
тс
Агг (Qo, Л) ='2 j dq0dp0v2(z0; Т6) j dav2(z0; o)pp(q0, p0jQ),
0
(Д.99)
450
где, как и раньше,
02 (z"; t - to) = - (Q (0. P (t)) - (xm)'/" (Q (/). /> (0)+Л (0-
(Д.100) ,
При подстановке (100) в (99) можно поменять Q (tc), Р (tc), а также Q (t0
+ а), Р (t0 + а) на Q0 и Р0 соответственно. После усреднения члены,
линейные по г], выпадут. Члены, не содержащие' г], будут пропорциональны
тс ввиду интегрирования по о. Их можно отбросить. После этого получим
К22 = 2 [ (11 (t) 1] (t - о)) do = | (г| (t ~j- 0) n (t)) do. (Д. 101)
6 -Tc
Подставляя сюда (93), будем иметь
2/т"
К22 = kT (xm)4 -L | llEpL (1 _ V2t^co2)1/2 di0.
-2/To
Ввиду неравенства тс т0 функция sin сотJ (лсо) практически играет роль
дельта-функции б (со) (точная дельта-функция соответствует бесконечным
пределам интегрирования в (101)). После замены указанной функции дельта-
функцией получим окончательно
К22 = 2kT (xm)'/2. (Д. 102)
Прочие коэффициенты Ки, Ки не содержат второго момента процесса
г) (t). Поэтому они имеют порядок тс и их можно считать равными нулю.
То же самое относится и к коэффициентам с большим числом индексов.
Итак, основное кинетическое уравнение в силу (98), (102) оказывается
таким:
w(Q, P) = LYw + (xmyi*-lr [-^ф-w] +kT(xmyv-2^. (Д.ЮЗ)
Нетрудно проверить, что распределение (70), действительно, является его
стационарным решением.
Отметим, что при исходном гамильтониане
Ж (г) =
- № Р) + ШРЯ(<3 " ^ + W& S "> + ТЕ 2 {q> - q'->f
' )= 1 /=2
и Т - Т'/Ах для вывода кинетического уравнения можно применить метод
предыдущего пункта и в пределе Длг->-0 получить
w (Q, Р) - Ljw -f- kT' (с/щ)2 (х0рУР d2w/dP2. (Д. 104)
Это уравнение не имеет стационарного распределения.
Примечательно, что при формальной замене Т'- - Т Длг, с = = х0 (Дл:)^1^
последний член в (104) переходит в последний член
15* 451
уравнения (103). Это значит, что применение формулы (64) к рассмотренному
случаю, когда L2 = у27.2, дает все члены уравнения (103), кроме второго.
Постараемся дописать еще один член в (64), чтобы второй член в (103) не
терялся. Поскольку.во втором равенстве (97) важен член с / (7С), дающий
диссипацию, можно положить
Кг (Q, Р) = П/(1С) П- = П [ехр (-тeL) / (/")) П" = П/ (/") ехр (т0L) П".
Это значит, что в (64) следует дописать член
jp~КчЩ = ПL2ехр (тс7.)П~wt (так как L2 = _ fdjdP).
Переходя к L{ - Z-j/y2, L2 = L2!у2, будем иметь уравнение
wt = П | Ц + у27.2 ехр [тс (y2L[ + у~L2 + 7.3)] +
+ 7-2 } dsexp(L'is)L'2\n-(y)Wi. (Д. 105)
Зависимость от у (а также от тс) в пределе у оо выпадает, поскольку П~
зависит от у (П" выражается через равновесное распределение рр, в которое
входит полный гамильтониан Ж). Интересно, что в экспоненте во втором
члене в (105) нельзя отбросить относительно малый член L3, так как при
этом производные от Q в (91) исчезнут и данный член обратится в нуль. Без
