Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стратонович Р.Л. -> "Нелинейная неравновесная термодинамика " -> 160

Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.

Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика — М.: Наука, 1985. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineynayaneravndinamika1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 154 155 156 157 158 159 < 160 > 161 162 163 164 165 166 .. 178 >> Следующая

2. Кинетический оператор М. При помощи операторов П", П
эволюция распределений w (Л) во времени записывается весьма просто. Пусть
в начальный момент времени t0 имело место распределение Wi0 (Л). Ему
соответствует распределение П~ш<0 в фазовом пространстве. Решая уравнение
(5) при начальном распределении ГГщ*", находим распределения в
последующие моменты времени. Соответствующее решение уравнения Лиувилля
можно записать так:
р (z, t) = ехр [L (/ - t0)] П
Используя полученные распределения, по формуле (3) нетрудно найти
эволюцию распределения термодинамических параметров:
wt (Л, t) = j (П ехр [L (t - t0)] П-)AA'Wta (Л') dA'. (ДЛ5)
Если в правой части этого равенства не производить интегрирования по Л',
то получим двухвременное распределение
wUo (Л, Л') = (П ехр [L (t - ф)] П-)лл- wt, (А'). (Д. 16)
Здесь и в (15) в правой части записаны матричные элементы оператора П ехр
[L (t - /0) 1 П-. Из (16) нетрудно найти вероятности перехода, т. е.
условные вероятности
wtt0 (Л | Л') = (П ехр ]L (t - to)] П~)лл^. (Д. 17)
В случае, если динамическая система является марковскоподоб-ной, т. е.
процесс эволюции термодинамических параметров близок к марковскому,
вероятности перехода (17) должны приближенно удовлетворять уравнению
Смолуховского - Чепмена - Колмогорова (3.7), т. е. должно выполняться
равенство
П ехр (Lt2) Р ехр (Щ П" = П ехр [L (1Х + /2)] П" + О (р). (Д. 18)
431
Здесь использовано (14); (Л - некоторый малый параметр. Поскольку процесс
В (t) не является точно марковским, равенство (18) может приближенно
выполняться лишь при t\ > т0, > т0. Будем пола-
гать, что в (18) tx, t2 > тс, где тс -величина, удовлетворяющая
неравенствам (1).
Для реального динамического процесса предельного перехода т 0, имеющегося
в (3.13) и определяющего оператор кинетического уравнения, совершать не
приходится. Вместо этого определим оператор М кинетического уравнения
w(A) = Mw (А) (Д. 19)
формулой
М - т(Г'П (ехр (Гтс) - Г) fl y (Д.20)
где 1 - тождественный оператор в пространстве фазовых распределений.
Приближенную справедливость уравнения (19) при операторе (20) можно
доказать обычным образом исходя из уравнения (18).
Член О (р), описывающий неточность равенства (18), приводит к тому, что
оператор (20) определяется с погрешностью тДО (р). Отсюда легко получить,
что решение
да (A, t) = ехр [М (t - t0) I да" (Л)
уравнения (19) при t - t0 ~ тр имеет относительную погрешность порядка
трр/тс. Для марковскоподобных динамических систем должно выполняться
неравенство
(VTc) 9 € 1. т. е. (Тр/То)1/2 р С 1.
В (20) можно менять время тс, при этом М будет мало меняться, если только
тс остается в диапазоне (1). Рассмотрим эту неизменность подробнее.
Приравнивая нулю производную dM/drc, получаем
0 " П [тГ1 (ехр (Ztc) - 1)] П~ =
= П [t^'l ехр (Lie) - Ч ? (ехр (Ltc) - 1)] П""
или
т^'П (ехр (Lrc) - 1) ГГ" я" ILL ехр (Ltc) П~.
Вследствие этого равенства оператор (20) можно записать также в форме
М - ILL ехр (Ltc) П~. (Д.21)
Оператор N (т) = ILL ехр (Lt) П" в случае марковскоподобных процессов
быстро меняется при т ~ т0, а затем в диапазоне т0 <§( т <§( тр медленно
меняется и мало отличается от М. Выражение в правой
части (20) есть среднее - | N (т) dx и совпадает с (21).
Тс J о
432
3. Свойства оператора кинетического уравнения, а) Если подействовать
оператором (21) на равновесное распределение (10), то получим
Mwp (А) = ПХ ехр (Хтс) П~Ъур (А). (Д.22)
Вследствие (11) имеем
ГГйУр (А) = рр (г).
Поэтому (22) принимает вид
Mwp (Л) = R2 ехр (Хтс) рр (г).
Но в силу (9) выражение L ехр (Етс) рр равно нулю. Следовательно,
Mwp (А) = 0. (Д.23)
Это уравнение совершенно естественно: равновесное распределение и не
должно изменяться со временем. Оно свидетельствует о непротиворечивости
теории.
б) Рассмотрим теперь вопрос о временной обратимости. Временная
обратимость обусловлена, как отмечалось в § 6, равенством
Ж (q, -р) = Ж(д, р) или Ж(гг) = Ж(г). (Д.24)
Введем операцию е-сопряжения, которую мы обозначим так: (...)е. Она
переводит оператор R с матричными элементами Р2Г или Rzb и т. п. в
оператор (R)e, имеющий матричные элементы Rez.ez- или Rzz,eb и т. п.
Здесь, как и раньше, ег = е (q, р) = (q, -р), гВ - = {еа?а}.
Применим введенную операцию к оператору Лиувилля (6), который имеет
матричные элементы
=2 №>? - ?)* (*-"¦> "о-л "¦*>
Согласно указанному определению получаем
(Г)е= У (- р)-~+ *\ь(г-г!)
&х\ дРч дРч дЧ!
(Д.26)
Видим, что при условии (24) выражение в правой части (26) лишь знаком
отличается от выражения (25). Следовательно, при условии временной
обратимости (24) имеет место равенство
(?)* = -?. (Д.27)
Благодаря этому равенству уравнение Лиувилля р = Lp остается инвариантным
при обращении знака времени. Уравнение же (19) не является инвариантным
при замене t -*¦ - t, так как равенство (М)е = -М типа (27) для оператора
(20) или (21) не выполняется. Этим объясняется то, что уравнение (19), в
отличие от (5), способно
433
описывать необратимые процессы релаксации. Нужно отметить, однако, что
Предыдущая << 1 .. 154 155 156 157 158 159 < 160 > 161 162 163 164 165 166 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed