Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
превратилось бы в обычное уравнение Фоккера - Планка. Существенно, что
процедуру применения формулы (35) можно продолжать сколько угодно раз и
получать уравнение с любым числом производных по А.
5. Коэффициенты кинетического уравнения Ка^ ... а^А). Чтобы получить
кинетическое уравнение в форме (3.17), следует вместо (35) использовать
несколько другую форму. Обозначим
В правую часть можно подставить равенство (34), где вместо т взято о, и
получить
Подставляя под знак интеграла аналогичное равенство, будем иметь
Ахв(4, Л/) = (Й^(0)Г'*1[ехр(/Гтс) - 1]оа(тс)П')лл'-
фх (г) = ехр (-2т) б (Л - В (г)).
Это равенство можно записать в виде
(Д. 38)
ЧЧ (2) = б (Л - В (г)) - [1 - ехр (- Lt)] б (Л - В (г)) =
X
= б (А - В (г)) - j L ехр (- Lt) б (А - В (г)) da.
о
т
фх (2) = б (Л - В (2)) - j Va (2, о) фа (2) do.
(Д. 39)
О
т
фх (г) = б (Л - В (г)) - щ- j do va (г, а) б (Л - В (г)) f
+ дАадАр f da J dn Va (2' a)(2' фя (2^-
о 0
Многократное применение формулы (39) дает
t dj
^ ^ dAai.d.:dAan J^<*1(z' Cl) J ^"2(г, a2)X...
a о
an-i
¦ • • X J donvaii (z, an) q>an (г). (Д.40)
о
Сначала равенство (31) при помощи (34) и обозначения (38) преобразуем в
равенство
(М)АА' = - [ б (А'-В (г)) рр (г) (г, т0) срТс (г) dz wj
(А').
Затем применим формулу (40). Это даст выражение
/г
(¦"W = ? bg f [K.i aJA)S(A - Л')] +
til- 1
Л')' W-41)
где
• am =
тс <П
= Раг ... ат j dz VaL (2, Тс) j da, Va2 (Z, a,) j do2 Va3 (Z, a2) X ...
0 0
am_2
...X j dam-ivatn(z, 0т_1)рр(2)б(Л-В(2))дар1(Л), (Д.42)
0
= ^dzb(A' - B(2))Ottl (2, To) j doi Уа2 (2, CTl) j do2Vaz (z, 02) X ...
о 0
%_1
• • • X } don (2, on) [exp (- Lon) б (Л - В (2))] pp (2) a^1 (Л').
0
В (42) Раг ...,a обозначает содержащую ml членов симметризующую сумму по
индексам аь ..., ат. Имеющийся в (42) интеграл по z типа
} • • • рр (г) б (Л - В (2)) dz/Wp (2) =
= J ¦¦¦pv(z)6(A-B(z))dz/\pv(z)6(A-B(z))dz
438
есть не что иное, как условное равновесное среднее (... | Л)0 = = <...)А.
Поэтому (42) можно записать в виде
Kat...am(A) =
= ра1...ат I f <о",(г, Тс)о",(г, (Т!)Х
<тт-1<"' <<Т1<Тс
• ¦ • X vam (z, ат_1))А dav- dam_v (Д.43)
Благодаря наличию в (43) симметризующей суммы область интегрирования
можно упростить:
/Ц...ат(Л) =
тс
= Р(а1...ат)\ J (Va, (г, Тс) Wa, (г, (Ti)X • • •
О о
• • • xy"m(z, (Тт_1))л dar ¦ •dam_1 =
= l\a1 ¦.. 0Sm) (^ctj (z, Tc) ABa2 (z) • • ¦ (z))A, (Д-44)
где
-с
ДВа (z) = | (z, a) da =
0
= exp (- Ltc) Ba (z) - Ba (z) = Ba (exp (- Ltc) z) - Ba (z), P("i... am)
-содержащая m членов сумма по циклическим перестановкам указанных
индексов. Нетрудно понять, что равенство (44) можно представить в виде
производной
Ч ¦¦ ¦ ¦ ¦¦" И) = ¦-НГ <*> ¦• • • ¦4В.т Щл- (Д' 15)
Устремляя в (41) число п к бесконечности, получим оператор, которому
соответствует кинетическое уравнение вида
оо
* ¦= 2<-1 >" м. Гм. вч - ¦"<¦*> ч.
m=l 1 т
обычного в марковской теории.
Если в качестве оператора М взять (20), то можно провести аналогичные
выкладки. При этом вместо (44) получим
7Ц... ат (Л) =
= Тс1 А*, ...ат | | (Vai (z, СЦ) У"2 (Z, <Т2) • ¦ ¦ (z, От))А
X
o<am<---<Oi<0c
X dai... dam = xll • • • ДВ"т)л. (ДЛ6)
Легко понять, что выражения в (45) и (46) приближенно равны, если
условное среднее
(%(z, cTi)---yajn(z, ат))А
439
имеет малое время корреляции тк тс и обладает приближенным свойством
стационарности, т. е. приближенно инвариантно при сдвигах Oj -> оу -f- а,
..., ап -"• ат + а на величину а ~ тс. Указанные свойства объясняются
тем, что время корреляции т" имеет порядок т0, а нестационарность,
возникающая благодаря условию В (z) = А, не успевает проявиться при
временах порядка о, ~ тс. Время проявления нестацйонарности имеет порядок
тр.
Приведенная выше формула
вполне естественна: она для марковскоподобных процессов является аналогом
формулы (3.18) теории точных марковских процессов.
6. Уравнение Цванцига. Если процесс В (г (f)) не является мар-
ковскоподобным, уравнение (19) для него несправедливо. В этом случае
имеет место более сложное уравнение, к выводу которого мы переходим.
Пусть р (z, t0) - некоторое начальное распределение в фазовом
пространстве. Поменяем его на распределение р0 (z) = Рр (z, t0),
получаемое при помощи оператора проектирования Р = П" П. В дальнейшем
проектирование не будет производиться. Взяв р0 (z) в качестве начального
распределения, при помощи уравнения Лиувилля можно получить распределения
для последующих моментов времени. Их можно записать так:
Данным распределениям в фазовом пространстве соответствуют распределения
внутренних термодинамических параметров
(использованы (47), (49)).
Если продифференцировать (51) по времени, то получим
р (z, 0 = ехр [L (t - *")] ро (г).
(Д-47)
wt = Пр (z, i) = П ехр [L (t - *")] р0.
(Д-48)
Введем обозначение р: == П wt. Подставляя в правую часть формулу (48),
получаем
Pi = Р ехр [L (i~i0)]p0-
Дифференцируя (48) по времени, находим
wt = ПЕ ехр [L (i - f")] р0 = ПЕ (рх + р2),
(Д-50)
(Д-49)
где обозначено
