Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Для этого нужно расписать подробнее левую часть:
eaep([LBp(0)]Ba(0)) = eaep j Lzz-B&(z', 0)Ba(z, 0)pp(z)dzdz',
учесть (130), ввести новые переменные интегрирования гг = у, гг' = у', а
также использовать (132). Это приведет к формуле
eaep ([LBP (0)] Ва (0)) = - j LyrB^ {у', 0) Ва (у, 0) рр (у) dy dy'.
Для обоснования (133) остается использовать свойство LT = -L оператора
Лиувилля.
б) Не намного сложнее доказать равенство
(?а (к) Рц(к)) = (Fa (ti) F& (t2)). (Д. 134)
Вследствие (124) оно эквивалентно формуле ea4(Fa(t2i)F^(0)) = (Fa
(t12)Ffi(0)) или если учесть (112),
easp ([ехр (~QLtn) QLBa (0)] [QLBP (0)J) =
= ([exp (QLt21) QLBa (0)1 [QLSP (0)]). (Д. 135)
Запишем левую часть этого равенства подробнее:
?а?ц(Ра (kl)Ffl (0)) =
= eaep j [ехр (- QLtn) QL]ZZ, Ba(z', 0 )(QL)22~ Bp(z", 0) pp(z) dz dz'
dz".
(Д.136)
Вследствие (131) и (132) справедливы равенства (QL)?y, ?у' = (QL)yy,
(ехр (-QLt12) QL)ey,eyr = - (exp (-QLils) QL)mr.
Поэтому после введения новых переменных интегрирования у = гг, у' = гг',
у" = гг" и использования (130) интеграл в (136) станет равен среднему,
стоящему в правой части (135). Это доказывает (134).
Теперь учтем (123). Вследствие (133) и (134) немедленно получаем
соотношение взаимности еаерФр,а Д1; U) = Фа р i2) (см. (15.15), (19.15)).
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1. Связь сопряженных потенциалов в пределе малых флуктуаций
В соответствии с (2.60) и (29.10) находим формулу связи вида
ехр (- х-1(r)) = J ехр [хГ1 (Вх - ? (В))] dB. (ГГ 1.1)
Возьмем данный интеграл методом перевала (скорейшего спуска). Обозначим
через В0 точку, обращающую в максимум подынтегральное выражение, т. е.
точку, в которой ? (В) - Вх минимально. Условие экстремума имеет вид
дЧ(В)!дВ=х (П1.2)
при В = В0. Предполагается, что данное уравнение имеет единственный
корень, и что матрица вторых производных является положительно
определенной:
62?
так что экстремум соответствует минимуму функции ? (В) - Вх. Разлагая эту
функцию в ряд Тейлора в точке минимума, имеем
? (В) - Вх = ? (В0) - В°Х + Vs^apZaZp + Vetap-j.ZaZpZ-, +
+ 1/241hp76ZaZp?726 -{-•••,
где га = Ва - В", a = 1, ..., г. Следовательно,
6Хр[ - - Вх)] =
= ехр [-х-1 (? (В0) - В0*)] [ 1 - -gL i(;ap7zazpz7 фартбга2рг7гб+0 (г5) j
X
X ехр [- (2x)_1 TapZaZp]. (П1.3)
Подставляя (3) в (1), получаем
ехр (- х_1Ф) = С ехр [х~х (? (В0) + В°х)] X
Х [ ! 6jT |'гагРгг) 24х" t"PY6 (Wrt> + '' j ! (Ш .4)
где С = det 1 1| фар/(2ях) ||; скобки (...) обозначают усреднение с
гауссовой плот-
ностью распределения
w0 (г) = С"1 ехр [- (2Х)-1 фаргагр].
Последнему соответствует нулевое среднее значение и коррелятор (га, - хф-
jj.
Учитывая это, имеем
<Wv) = °>
(гагрг7гй) = *2 (tap Ve И' tavW +
Поэтому из (4) после логарифмирования находим
Ф (х) = ? (В0 (х)) - В0 (х) х -j- !/2х In det || фар/(2ях) || +
+ 1/8х2фар?бф-[!ф^ + О (х"). (П1.5)
459
Если в (5) отбросить члены, малые при малом х, то получим равенство Ф (х)
= = (В0) - В°х, которое в силу (2) означает, что Ф (х) получается из Т
(В) преобра-
зованием Лежандра. Остальные члены в (5) указывают точность этого
приближения. Знаменатель 2ях дроби, стоящей под знаком логарифма, можно
опустить, так какой не оказывает влияния на величину производных от Ф
(х). Вместо Indet || || можно
писать Тг In (I фар ||.
Приложение 2. К теории базгранично-делимых законов распределения
1. Аргументация разложения (4.6) при условиях (4.7). Логарифмируя
равенство (4.3), имеем
In 0 (iu) - п In &п (iu) = п In [1 + (0;1 (iu) - 1)]. (П2.1)
Оценим величину 0П (ш)- 1. Вследствие первого равенства (1) находим
'1п0(ш)"| , _ 1 fin 0 (tu)\k
п /• n 1 Г In 0 (iu) 1 VI 1 Jln0(!u)r
0" (,") - I == ехр [ J - 1 = 2j -*Г {-nj ¦ (П2-2)
k=\
Отсюда видно, что разность (2) при больших п мала, точнее, имеет порядок
О (п~г). Вследствие этого можем записать
In [1 + (0" (iu) - 1)] = 0" (iu) - 1 + 0 (n"2), так что из (1) вытекает
равенство
In 0 (iu) = п [0n (iu) - 1 ] + О (гг1). (П2.3)
Если теперь подставить (4.2) в правую часть (3), то получим In 0 (iu) =
ri J {exp (шг)) - 1} wn (p) dr] + О (гг1)
^"Л = ? и"Л"^ .
Это равенство можно записать также в виде
In
где
0 (iu) -- niua (тп)а + п J [ехр (;'пт|) - 1 - im\] wn (r|) dr] +
О (п х), (П2.4)
(тп)а = f r]awn (т|) dr\ =¦ та/п (та = J law (?) rfg).
Если обозначить
gn (Л) = nr?wn (Л) > О, (П2.5)
то равенство (4) примет вид
In 0 (iu) = iuama + J [exp (iur]) - 1 - iux\\ r|~2gn (r|) dr\ + О
(re"1). (П2.6)
Согласно (4.1), (1.5) имеем
- J] a2 In(c) (iu),ldua = (ga, ga) при и = 0. (П2.7)
a a
Дважды дифференцируя (6) по ua, суммируя no a и приравнивая и нулю, при
учете (7) получаем
а
460
2 (ь"> |a> = J gn (л) dr] + 0(п х). (П2.8)
Из условия (4.5) следует, что (5а. 5а) < °°, т- е- (в силу (8)), что
(112.9)
Из (5), (9) видно, что допредельная функция gn (т]) удовлетворяет
условиям неотрицательности и ограниченности интеграла, аналогичным (4.7).
Чтобы получить (4.6) из (6), остается перейти к пределу n-э-оо. При этом
функция (5) перейдет в функцию g ("п), содержащую, возможно,
