Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
поменять на следующее:
т0со = 2 sin (XI2). (Д.77)
Будем сначала считать цепочку бесконечной в обе стороны. От переменных q}
унитарным преобразованием можно совершить переход к комплексным
переменным
ОО
ijr (X) = (2я)~1/2 J] ехр(-&j)qj, -я<Д<я.
/=-оо
Обратный переход имеет вид
SX п
<7/= (2я)-1/2 J сДехр (iXj)q(X) = (2л;)-1/2 J dXexp(iXj) q{%) + к.с.
(Д. 78)
446
Здесь использовано, что q (-А,) = <7 (^) в силу действительности величин
q}. Условие унитарности преобразования выражается любым из равенств
я
]
2я J
- я
dk ехр [t'A, (/ - /)] = б л,
У ехр[-ij (к - к')] = Ь(к - к'). (Д-79)
2л
/=-оо
Учитывая (78) и принимая во внимание указанный экспоненциальный вид
решения уравнений (76), записываем qj как функции от времени:
я
q} (t) = (2я)-'/2 [ dk eiXi [г_ (к) еш + г+ (к) е~ш] + к.с., (Д.80)
о
где а, к связаны соотношением (77), к. с. обозначает
комплексносопряженное выражение. Если (78) относится ко времени t = 0,
то, очевидно, г_ (А,) + r+ (А) = q (к). Разложение q (А) на г+ и г_
задается функцией р (А) при t = 0.
Через г+, г_ можно выразить функцию Гамильтона
Ж\ = V2 S [т~У, + х (qj+1 - qj)2]. (Д.81)
Для этого нужно использовать вытекающие из (80) равенства
Pi (0 = mqj (t) =
Л
= т (2я)_1/2 j" dkimi%' [r_ (A) eimt - г+ (к) е~ш] 4- к.с.,
(Д.82)
д+1 - qj =
Л
= (2я)-'/2 j dk (еа - 1) eiki [r_ (A) eiat -f r+ (A) e~u'>t] -j- к.с. о
Возводя последние выражения в квадрат, подставляя в (81) и производя
суммирование по /, после применения второго равенства (79) и формулы (77)
получим
Л
Ж1=2т\ dk со2 (| г_ {к) |2 + | г+ (к) |2). о
Запишем теперь распределение Гиббса с этим гамильтонианом: w[r_(k), д(Я)]
=
Л
const-ехр
2т
W
J dk со2 (| Г_ (А) |2 -(- | г+ (Я) |2)
Это распределение гауссово. Применяя обычные формулы, нетрудно найти
корреляторы функций yt (А), определяемых равенствами
447
г_ (к) - yx (X) 4 и/2 (к), r+ = г/з -f- iy4. Корреляторы оказываются
такими:
(yt (к), (Г)) = kT(4/гкй|)-1 Ь1тЬ{к - К'), 0<Я, к' сл. (Д.83)
Это равенство вместе с равенством (yt (X)) = 0 полностью определяет
статистику волн, идущих в бесконечной цепочке.
в) Учет отражения от конца. Чтобы избавиться от необходимости
рассматривать отражения волн от дальнего конца, совершим предельный
переход N -*ьоо. Этот переход имеет принципиальное значение, так как
только благодаря ему в системе устанавливается полная необратимость и
спектр собственных частот, соответствующих гамильтониану (72), становится
непрерывным.
Остается рассмотреть влияние ближнего конца / = 0. При N = оо все
уравнения (76) будут выполняться, если формула (80) справедлива для всех
q0, qu ..., т. е. в том числе и для q0 = <24Выпишем соответствующее
равенство:
Q (0 = и. (t) 4 и+ (/), (Д.84)
где обозначено
JT
(/) - (2л)-'/2 j dk ехр (+ Ш) r± (Л) + к. с. (Д-85)
о
Ввиду того, что функция Q (t) определяется уравнениями (74), равенство
(84) служит определением не функции Q (/), а функции и+ = Q - и_, т. е.
отходящей волны.
Рассмотрим теперь силу / (/) = х (q4 - Q), входящую во второе уравнение
(74). Полагая во втором равенстве (82) / = 0, получаем
f = к (<7i - Q) =
Л
= и(2я)-Р2| dk(ea - 1) [ешг_(к) -(- е~,га4+(А)] -[- к. с. (Д.86) о
Соотношение (77) позволяет тождество
eik - 1 = ^cos -у- -f- i sin 2t sin
преобразовать к виду
ехр (й) - 1 = F (ш)-шт0, (Д.87)
где
F (х) = [1 + (W)*)1'2 4 V2V. (Д.88)
Подставляя выражение (87) в (86), нетрудно понять, что в нем можно
поменять йо на б/й/ (членсг_) и на -dldt (член с г+). Затем
соответствующие операторы можно вывести за знак интеграла и при учете
(85) получить
. ко=<*".)¦* 4 [г (4) мо -' (-4) "*">] •
448
Пр инимая во внимание (84), отсюда можно исключить и+ (/):
(/)' f ц (О, (Д.89)
где
Ч (')-(""¦)'" [f (ir) + f (" т)] =
я
= 2 (xm)l/2 (2л)_1/2 j rfX(iw)^l - Vi^o(r)2) 12ешг_ (к) -{- к.с.
(Д.90)
(в последнем равенстве использовано (88) и (85)). Входящую в (89) функцию
(88) удобно разложить в ряд Тейлора, что дает
/(*) = - (юи)1'2 [Q (0 ~ V3ToQ (0 + VgTflQ (О -Ь • ¦ • ] + л (О-
(Д.91)
Случайная функция г] (t), представляющая собой силу воздействия
приближающейся волны, является статистически независимой от Q (•), имеет
нулевое среднее значение и коррелятор
П
(г] (/ -f т) 11 (t)) = kTхп'1 j е'ит (1 - V^or) dk. (Д.92)
- П
Он найден при помощи (90) и формул
тсо? (/•_ (Я) rl (Я')) = 11ф.ТЬ (к - к'),
</•_(*)/•_(*')) = 0, </-Л(Я)лЛ(Я')> = 0,
вытекающих из (83). Изменяя в (92) при помощи (77) переменную
интегрирования, находим
(Г] (* + Т) Г] (*)) =
2/т"
= kT (xm)112 -i- j е'(r)<(1 -1/атХ)1/2^"- №93)
-2/то
Отсюда видно, что время корреляции процесса r| (t) равно т0.
Интегрирование в (93) можно выполнить (при этом (ц (t + т) т] (^))
выразится через J0 (2т/т0) и J2 (2т/т0)), но нам нет надобности этого
делать.
г) Коэффициенты кинетического уравнения. Полученные формулы (89), (93)
справедливы при любых т0. В случае т0 < тр при помощи них нетрудно
получить коэффициенты Ка (А), (Д) (напомним,
что Аг = Q, Д2 = Р). Формула (42) при т = 1 дает
