Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
двухиндексная матрица ?/,, 2, чего не было в ФДС первого, второго и
третьего родов.
ЗАМЕЧАНИЯ ПО ЛИТЕРАТУРЕ К ГЛАВЕ 8
Обычный закон Кирхгофа изложен во многих учебниках, например, в § 63
[29].
Справедливость универсального соотношения, выражающего обобщенный закон
Кирхгофа и соответствующего линейному приближению, была подмечена и
проверена на частных случаях в работе [22] (см. также книгу [23]). Это
соотношение было доказано в [53, 57], там же были получены нелинейные
соотношения кирхгофовского типа.
ДОПОЛНЕНИЕ
I. Марковские процессы с точки зрения микроскопической
динамики
Совокупность молекул, ионов и т. п. образует динамическую систему,
которая имеет некоторый гамильтониан Ж (z) и эволюционирует в
соответствии с динамическими уравнениями Гамильтона. С точки зрения этой
молекулярной динамики модель марковских процессов заведомо является
приближенной. Только в случае полевых динамических переменных и
пространственно-неограниченной системы марковская модель может быть
точной. Далее, поведение далеко не всех дискретных (т. е. многочастичных)
динамических систем может быть приближенно описано марковской моделью. Те
системы, для которых может быть построена марковская модель, назовем
марковскоподобными. Такие системы непременно характеризуются по меньшей
мере двумя временными масштабами: постоянной времени макроскопических
релаксаций тр, которая указывает быстроту изменения выбранных
термодинамических параметров Ва (г), и постоянной времени т0 установления
локального равновесия или временем корреляции случайных воздействий на
параметры Ва (z). Указанные постоянные времени должны быть существенно
различными, т. е. должно уверенно выполняться неравенство
тР > V
Введем среднее время тс = (vr,,)1/2, которое, очевидно, удовлетворяет
неравенствам
тр>тс>т0. ^ ^ (Д. 1)
1. Операторы П и 1Г. Термодинамическое описание динамической системы
является сокращенным. При этом не следят за поведением огромного числа
динамических переменных г, а следят за поведением относительно небольшого
числа выбранных термодинамических параметров Ва (z), а = 1, ..., г. Зная
распределение р (z) в фазовом пространстве, нетрудно найти распределение
w (А) = | б (А - В (z)) р (z) dz . (Д.2)
термодинамических параметров. Вводя линейный оператор П отображения
пространства распределений в фазовом пространстве на пространство
распределений w, равенство (2) можно записать в виде
w = Пр = | б (Л - В (г)) р (z) dz. (Д.З)
429
Введенный оператор имеет матричные элементы
(П)л" *=в(Л-?(*)). (Д. 4)
Распределение в фазовом пространстве эволюционирует в соответствии с
уравнением Лиувилля
р(2) = Гр(2) = {Ж, рЬ (Д.5)
которое вытекает из уравнений Гамильтона. Здесь
( дХ д дЖ д \ /п
г) W6)
- оператор Лиувилля.
Временная эволюция распределения р индуцирует временную эволюцию
распределения (2). Теперь предположим, что независимым образом задано
распределение w (А), и мы хотим найти, как оно будет эволюционировать, т.
е. найти его будущие значения. Это можно сделать так: по w (А)
восстановить р (г), затем использовать уравнение Лиувилля, а потом снова
вернуться к w. Но как найти распределение р (г), удовлетворяющее
уравнению (2) или (3) при заданном w (Л)? Оператор П сильно вырожден,
поэтому обратного оператора П"1 не существует. Однако можно ввести
обобщенный обратный оператор ГГ такой, чтобы произведение ПГГ было
единичным оператором в пространстве распределений w (г). Тогда, полагая
р (г) = П'щ (А) (Д.7)
и возвращаясь от (7) в соответствии с формулой (3) к распределению по А,
мы получим прежнее распределение w (А). Требование, чтобы ПГГ было
единичным оператором в пространстве распределений w, эквивалентно
равенству
ПП_П = П, (Д-8)
которое, как известно из теории матриц, есть определение обобщенной
обратной матрицы ГГ.
Нужно отметить, что формулой (8) оператор 1Г определяется неоднозначно. В
выборе его вида помогают дополнительные соображения. Опишем один из
возможных операторов ГГ в нашем случае. Пусть рр (г) - равновесное
распределение, удовлетворяющее уравнению
ТРр (г) = 0; (Д-9)
в качестве него можно взять каноническое (2.5) или микроканониче-ское
(2.6) распределение. По формуле (3) ему соответствует распределение
шр (А) = Прр (г). (Д. 10)
Оператор П" определяем формулой
П-щ {А) = рр (г) w (В (z))/wp (В (г)). (Д. 11)
430
Нетрудно проверить, что, подействовав на (11) оператором П и используя
(2), мы снова придем к исходному распределению w (Л). Следовательно,
требуемое условие выполнено.
Из (11) следует, что оператор П" имеет матричные элементы
(П")гЛ = рР (г) б (В (г)-A) w(Л). (Д. 12)
Учитывая (4), это равенство можно записать в виде
П- = ррПт<\ (Д. 13)
где рр и Wp1 - операторы умножения на рр (г) и \lwp (Л) соответственно, а
Пт - транспонированный оператор П.
Обозначим
Р = п-п; (Д. 14)
из (8) вытекает, что этот оператор удовлетворяет равенству
Р2 = Р.
Он является оператором проектирования в пространстве фазовых
распределений.
