Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
сингулярности типа обобщенных функций. По свойствам неотрицательности и
ограниченности интеграла предельная функция, естественно, копирует
допредельную функцию, т. е. для g ("п) выполняются условия (4.7). Можно
ожидать, что упомянутые сингулярности ограничиваются сингулярностями типа
обычной и уточненной дельта-функции, описываемой ниже.
2. Пример: гауссов закон распределения. Рассмотрим гауссовы случайные
величины, характеризующиеся средними значениями (|а) и корреляторами - =
(5а, 5р)- Для простоты будем предполагать, что средние значения равны
нулю, а матрица корреляторов удовлетворяет условию
Выполнения этих условий всегда можно добиться преобразованием сдвига и
изменением масштаба, так что эти условия не связаны с ограничением
общности. Более существенным является еще одно принимаемое условие -
условие невырожденности матрицы sap. Если эта матрица вырождена, то часть
переменных выражается через другие. Исключая их, можно получить
невырожденную матрицу для меньшего числа величин.
Для рассматриваемых случайных величин имеем In 0 (iu) =-1/зРа$иаи$-
Попытаемся представить In 9 (гв) в форме (4.6). Разлагая подынтегральное
выражение в (4.6) в ряд по Шг, имеем
Функция g (г) должна быть такая, чтобы в квадратных скобках в (11) члены
с иаириу, а значит, и с zazpzv исчезли. Это наводит на мысль, что функция
g (z) должна быть пропорциональна дельта-функции: g (г) = Сб (г).
Входящую сюда константу С можно определить из условия (10), которое в
силу равенства типа (8), но записанного для предельной функции g (г),
принимает вид
Стоящий здесь интеграл дает неопределенность типа 0/0. Чтобы устранить
эту неопределенность, следует уточнить понятие дельта-функции.
Дельта-функция, согласно обычному определению, обладает свойством
при любой функции {(г) из достаточно широкого класса функций. В
обобщенных полярных координатах это равенство записывается так:
^ I saa - 1 •
(П2.10)
а
Отсюда имеем С = 1. Подставляя g (z) = 6 (z) в (11), получаем
(П2.12)
(П2.13)
j f (рт) b(p)dp-^- = f (0) j = f (0).
(П2.14)
Здесь p = | z |; ma - функции углов:
т1 = cos ф, m2 - sin Ф cos (p, m3 = sin Ф sin ф cos ф, . .
461
dQ - элемент r-мерного телесного угла, а
Г \ rrtv/v! при г = 2v,
= \dQ ==
¦* I Jtvv!2V(r-1)! при r = 2v -|- 1
- развернутый r-мерный телесный угол. В левой части (14) б (р) = б
(pm)pr~lcr
- одномерная дельта-функция.
Для многомерного пространства введем уточненную, а именно, изотропную,
дельта-функцию би(2), потребовав, чтобы для нее, кроме (13), (14),
выполнялось равенство
J/(z, -f) 6П (*)<te= Jm m)^j- (П2.15)
при любых / (г, от). Если р(т) - плотность распределения по от,
удовлетворяющая условиям
р (от) >0, jp(m)dQ^l, (П2.16)
то произведение
б (г, г/г) = сТ р (г/г) би (г) (П2.17)
будет являться неизотропной уточненной дельта-функцией. Для нее вместо
(15) будем иметь равенства
J1 (*• -г) * (г- -г) * =Cr J' (г- -г) Чт) *" (г>
-J.
йг
/(О, m)p(m)dQ. (П2.18)
Если под б (г) в (12) иметь в виду неизотропную функцию (17), то
равенство (12) в силу (18) примет вид
V2Sap"a"p = V2"a"p j mam|3p (m) dQ.
Чтобы оно было справедливо, необходимо подобрать плотность р (tti), для
которой
j ma/npp (от) dQ = sap. (П2.19)
Чтобы найти плотность р (от) с нужными свойствами, а также чтобы
представить уточненную дельта-функцию (17) в виде предела обычных
функций, следует принять во внимание приведенную в п. 1 теорию, согласно
которой g (г) является пределом
g (г) = lim gn (г). (П2.20)
rt-VOO
Допредельному распределению wn (г) соответствуют нулевые средние значения
и корреляционная матрица sap/n. Оно записывается так:
wn(z) = (2nrr/V/2der1/2 ||sap||exp(-Varas^Zp), (П2.21)
и удовлетворяет условию
j zazpwn (г) dz = Sap/ra. (П2. 22)
По формуле (5) из (21) получаем допредельную функцию gn(z) = (2 я)-
г/2"г/2+1 беП1/2 I sap|| г2 ехр (-1/2"Sa'pzazp)" (П2.23)
причем в силу (22), (10) она удовлетворяет равенству
j gn (2) de = 1. (П2.24)
462
Согласно (20) функция (23) при л-v оо стягивается к точке z - 0 и
в пределе дает
дельта-функцию (17). Однако получаемое из (21) распределение вероятности
по углам
ОО
р (т) = j wn (рт) pr_I dp (П2.25)
о
не зависит от л и в пределе, следовательно, остается таким же.
Подстановка (21) в (25) дает
р (т) = i/2 п-"2Г (г/2) (det" >/21| sap j|) ((r)-},т0те)-'/2. (П2.26)
Из условия нормировки для wn(z), которому можно придать вид [ wn (рт)
pr_1 dp dQ = 1,
J
и (25) вытекает условие нормировки (16) плотности (26). Кроме того, из
(22) и (5) получаем
[ gn (г) гагрг^2 dz = [ gn (рт) /namppr-i dp dQ = sap, п любое.
Поскольку §п (г) -" g (z) = cTp(z/z) 6и(г), отсюда видно, что для
плотности (26)
справедливо равенство (19). Итак, в рассматриваемом гауссовом случае
справедливо представление (4.6) при функции g (г), равной уточненной
дельта-функции (17), где плотность распределения р (т) имеет вид (26).
Пр иложение 3. Вывод некоторых формул, касающихся перестановки операторов
Применяя формулу (6.32), представляющую собой разложение Тейлора, к
