Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Исследуем, имеет ли функция U (р, ф) точки "водораздела", т. е. точки
максимума при изменяющемся радиусе р и при фиксированном угле ф. Условие
максимума имеет вид
дИ (р, ф)/ф = g(ф) р + V2/ (ф) р2 = 0.
Отсюда находим координату точки "водораздела"
Рв (Ф) = -2g (ф)// (ф) > 0. (32.17)
Имеются ли такие точки, т. е. может ли отношение #(ф)//'(ф) быть
отрицательным? Из (16) видно, что g (ф)// (ф) меняет знак при изме-
13* 387
нении знака вектора п, поэтому точки водораздела заведомо существуют.
Используя (17), найдем высоту "водораздела"
U (Р" (Ф). Ф) = 2А>?3 (ф)//2 (ф)-
Минимизируем это выражение. Пусть минимум достигается в точке <рт:
= 2/зg3 (фт)//2 (фт)= min [W (ф)//2 (ф)]-ф
По аналогии с (31.24) вводим параметр минимального относительного
превышения "водораздела"
Х = 2/3к-1ё*ШП(<Рт)- (32.18)
С долей условности можно считать состояние, соответствующее точке В°,
относительно устойчивым, если К > 3. Область значений параметра 0, где К
~ 3 (или, скажем, К ~ 4), называем критической областью.
В критической области вместо (14) можно брать такое распределение:
w (Ь) = const-ехр (2k)-1 (фар&Л + V8i|>epAV>v)l при Ц Ьа<рв(фш),
а
w (Ь) =0
при Ьа > рв (фт), и находить соответствующие ему корреляторы.
а
Менее точный способ вычисления корреляторов в критической области состоит
в следующем. Для простоты будем использовать распределение (14), но
представим его в виде разложения
w (b) - const-ехр [- (2х)-1 фарЬаЬр] х
X {1 - (6х)-! \|)оР+ Va [(бх)"1 \|)a3v&a&p67]2 -|----}. (32.19)
Используя это разложение, а именно только те члены, которые выписаны,
можно получить
(Во) = Ва 1/г^11,ар'(,рат'(,ат"
(Ва, 5р) =
= Хфар -Ь фарфратфру?. (фррфауфт?, "Ь Фрафтрфу?.),
(Ва, В$, By) = X фарфруфу?,фруХ> (32.20)
(Ва, Bft, By, Bg)= Зх фарфруфурфба {^pv^J.T^Tpalsym-
Стоящие здесь множители х" не указывают правильного порядка корреляторов
в критической области. Дело в том, что матрицы фр(, в критической области
велики и их можно считать зависящими от х (при фиксированном X). Чтобы
более наглядно выявить истинный порядок членов (20), введем матрицы
Фар = Фа(}/? (Фт), ФаРу = ФаРу//(фт),
388
"нормированные" на единицу, т. е. удовлетворяющие равенствам
ФаР^а (фт) ф (фт) == 1 > ФаРу^а (фт) Ф (фт) ф (фт) == 1 •
Матрица фаР удобнее потому, что она, в отличие от фаР, не стремится к
нулю при 0 -> 0С. В (20) будем писать g (фт) фаР, / (фт) фа)37 вместо
фаР, фаРг Тогда при учете (18) будем иметь
(Ва, Яр) = (2х2)1/3(3^)-!/3| / (фт) Г2/3[ф"'р - (ЗА,)'1 ^p"x X
X ФцуХ (фр^фахфт?. "Ь ФраФтцфу?.) -)- О (А, )],
(Ва, Яр, Вф = - 2и (ЗА,)"1 /"' (ф"г) фадфр^фухфцгл + О (Л,-2), (32.2 1 )
(Ва, Яр, я.,, Be) = Зи4/325/3 (ЗА,)'5/31 / (Фт) f4/3 ф^ X
X фруфурфба (фрухфххфтра)5ут "Ь О (А,'8/3).
Входящая сюда величина / (фт) от х, А, не зависит..
Полученные формулы служат двумерным обобщением формул
(31.21), (31.22). При помощи разложения (19) можно получить и более
точные формулы. Из (21) видно, что в двухкомпонентном случае, как и в
однокомпонентном, флуктуации параметров в критической области являются
аномально большими и сильно негауссо-выми в отличие от обычных
флуктуаций, имеющихся вдалеке от критической точки. Формулы, аналогичные
(20), (21), справедливы и при большем числе компонент вектора В.
4. Особый случай двухкомпонентного фазового перехода. Когда
матрица А - -\kai р[| в критической точке имеет только одно нулевое
собственное значение, т. е. когда
ab - cd =0, а + b Ф 0 при 0 = 0С, (32.22)
элементы матрицы фаР, как видно из (6), (7), не стремятся к нулю по мере
приближения к критической точке. Этим данный случай отличается от случая
(8) и колебательного случая. Хотя фаР не стремится к нулю, обратная
матрица фар стремится к бесконечности при 0 ~*-0с, в чем можно убедиться
при помощи (4) и (5). В рассматриваемом особом случае (22) нельзя
использовать (10), а приходится пользоваться полным выражением
^аРу ~ 3 {Фаа^а, Pylsym "Ь
+ 3 {фацфруб (XV, v^sym ~Ь ФавФзуфу).^|ХхХ> (32.23)
входящим в (30.13). Следовательно, теперь на фаРу оказывают влияние
коэффициенты 7Capv, входящие в кинетическое уравнение, но не в уравнение
Фоккера-Планка. Это значит, что фоккер-план-ковское приближение является
недостаточным.
В силу равенства ab = cd при 0 = 0С формулы (6) принимают вид
Y20 = (а + b) G_1 (ad2 - $ad + уа2), = (a + b) G'1 (abd
-
- fiab -f yac),
= (a + b) G"1 (ab2 - pbe + yc2). (32.24)
389
при 0 = 0С. Поскольку Ый -с! а при 0 =(c)с (обозначим это отношение через
s), из (24) легко получить
?u = s?,0> 4Tot = s2V30 (32.25)
при (c) = 0С. Аналогичным образом из (4) имеем
у!г -s, х/у -> -s
при 0 -*• (c)с, причем "быстрота" этих двух сходимостей одинакова. Если
подставить (25) в выражение (16), определяющее g (ф), получим
g (ф) = Ф2и (sin ф -f s cos ф)2
при 0 =0С. Отсюда видим, что хотя, вообще говоря, фаР и g (ф) не
стремятся к нулю при 0->0с, функция g (ф) при значениях
Ф1 = -arctg s, ф2 = +зх - arctg s
стремится к нулю. Из этих двух значений при (c)т^0с следует выбрать то, для
