Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
левой и правой частях равенства, качественно представлены на рис. 32.1.
Выражению в правой части равенства соответствует кривая, которая в начале
координат касается оси абсцисс. Зафиксируем числа ylt р, xjm и будем
менять /, т. е. угол наклона прямой. Если число ух взято достаточно
малым, то в зависимости от величины I возможно различное число корней:
один корень или три, т. е. возможна мультистабильность. Критическим
значением /с, соответствующим переходу от моностабильности к
мультистабильности или наоборот, является одно из двух значений параметра
/, при которых прямая касается кривой (точки касания М и N). Значение у,
при котором происходит касание, обозначим через ус. По формуле (30) можно
найти соответствующее ему значение хс - ду + + т(у1 - ус).
Вследствие касания функция
X (У) = I (Ух - У) + (xJm + у1 - у) ехр (-у/у) в критической точке, как
легко понять, имеет разложение X (У) = V2X" (Ус) (У ~ Ус)2 Н при I = /с
392
(32.31)
(32.32)
Нетрудно проверить, что, используя обозначение (31), уравнения (29) можно
записать в виде
х = L [(*! - х + тух - ту) (I + ехр (~\ily)) - т% (у) ] + |,
у = LVAH [т% (у) + (х - хх + ту - ту? ехр (-р/у) ] + ц.
В критической точке /с согласно предыдущему выражения, стоящие в
квадратных скобках, исчезают при х = хс, у ус. Производя разложение этих
выражений в ряд по отклонениям Ьх -х - хс, Ь2 = = У - Ус, при учете (32)
и (30) будем иметь
b1 = L\- (bx + т%) [1С + ехр (-р/ус) +
+ ру? ехр (-р/ус) b2] - х/2т{1%} + g,
Ъ2 = LV АН [(bi + mb2) ехр (-р/у? (1 f pyl\) +
+ 1litn%b\] + г|.
Учитывая в правой части члены, линейные по bit нетрудно найти матрицу А
(см. первое равенство (3)): а = L [/с + ехр (-р/ус) ], с = та,
d = -LVAH ехр (-ply?, b = md.
Видим, что в данном примере, если выполнено условие а + b > 0, т. е.
условие
qc (VL)-1 ехр (E/RT) + 1 > Vcp/(Vcp + С)
(а оно выполняется автоматически), матрица А в критической точке имеет
только одно нулевое собственное значение, иначе говоря, выполнено условие
(22). Следовательно, мы имеем дело со случаем фазового перехода первого
рода, рассмотренным в п. 4.
Определив сначала &&р, &ар, v> &°.Pv> затем по формулам (6), (7), (9),
(23) можем найти фаР, фаРу (матрица ka>Pv легко определяется
из (33)). Простые, но несколько громоздкие выкладки целесообразно
проводить для заданных числовых значений величин V, q, ср, С, АН и др. В
результате по формулам (20) можно найти единовременные стационарные
корреляторы процессов х (t) и Т (t) в критической области.
6. Флуктуаций параметров, определяемые матрицей фар7б- Если все
элементы матрицы фаРу (Вс) равны нулю, то род фазового перехода и
особенности флуктуаций параметров в критической области определяются
четырехиидексной матрицей фаРу6 (@с)- Тогда для нее из (30.14) получаем
уравнения
4 0а, аФаР7б1эут ' АхРуб" (32.34)
где
АхЗуб 4 |Фа|0д, Руб} sym
в случае (8) и колебательном случае, а также
2agy6 == 4 Руб}sym 6 {фаифру&ду, y6}sym Т"
0 4 [фадфруф
393
в случае (22). Обозначая
%1 - ^40i %2 = ^31> -П == ЗФ22, Xt = ^l.li *5 == Ф<14>
21 - Zuh/4, Z2 - 2Ш2, 23 = 211аа/2, 24 - Z1M2> Zb = Z2222/4:
и используя (11), уравнения (34) можно записать в виде системы уравнений
ад + г0*2 = zlt d0x1 + (30о + bt) *2 + с0х3 = z2,
dt)X2 + 1/з (0o + b0) x3 -f- Сйх4 = гз,
d0x-3 -r (au -f 3b0) *4 + 0q*5 z4, dtx4 -f b0x" - z5.
Решение этих уравнений несложно. Корни можно представить в форме (13).
Входящие в (13) определитель и алгебраические дополнения довольно просто
вычисляются. В частности, определитель
имеет вид
D = (a0 j- b0) [aobo (00 -f 1О/30о&о -Д bl) +
-(- Codo (00 - 1О/о0оК> -J- bl) -[- 4/зсо^о]-
В правой части формулы (13) можно произвести сокращение на
0 Н- Ь. Дело в том, что этот множитель входит как в фаР и Zi
вследствие (6), так и в 0О -f b0, поскольку формула (30.32) дает
ао Jr b0 = а + Ь - фцбп - 2^!2к*2 - fe&L-
В колебательном случае и в случае (8) в результате указанного сокращения
устраняется неопределенность типа 0/0, соответствующая критической точке.
После вычисления матрицы фам можно рассчитать статистические
характеристики флуктуаций параметров. Они описываются распределением
w (В) = const-ехр ( - U (Ь)/х), (32.35)
где ЬгЛ - Ва - Ва, а также
U (b) = Рг-!'сфМр ! - 724фа)ъФаЬрЬ^. (32.36)
При помощи полярных координат (15), выражение (36) приводится к виду
V (р, ф) = ll-ig (ф) Р2 4" Va4h (ф) р4, (32.37)
где g (ф) имеет прежний смысл (16), а
b (ф) = ia^&nanfnyn& = ?40 sin4 ф -f 4ЧГ31 sin3 ф cos Ф +
+ 6ФД sin2 ф cos2 ф Д 4Y13sin ф cos3 ф + ?04 cos1 ф.
Рассматриваемый фазовый переход является переходом второго рода, если
h (ф) >0 при всех ф, (32.38)
и переходом первого рода, если
тшЛ(ф)<0. (32.39)
ф
394
В случае (38) при критическом значении параметра (c) в точке В - - В0
имеется устойчивое стационарное состояние, которому соответствует
получаемое из (35) и (37) распределение
w (р, ф) dp dtp = const-exp [- (24x)~lh (ф) р4] р dp dtp (32.40)
(особый случай (22), когда это не так, не рассматривается). Используя
